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rème précédent n'est qu'un cas particulier : il ne peut y avoir plus d'une 

 valeur finie rt poin- laquelle l'équation G{z) = n[G{z) étant une fonction 

 entière] ait seulement un nombre limité de racines, à moins que G(") ne 

 soit un polynôme. Nons allons montrer, en effet, que, a et h désignant 

 deux quantités finies, G(:;) est un polynôme si les équations G(s) ^ a et 

 G(z) = b ont un nombre limité de racines. 



» Commençons par rappeler quelques résultats d'un Mémoire de 

 M. Dedekind [ Ueberdie elliptischen Modid- Functionen [Journal de Borcliardt, 

 t. LXXXIII)]. Il existe une fonction co de la variable v n'ayant dans tout le 

 plan que les trois points critiques o, i et le point co , et jouissant des pro- 

 priétés suivantes : pour toute valeur de v, le coefficient de i dans w, mise 

 sous la forme ordinaire des imaginaires, est positif; déplus, « a pour une 

 valeur quelconque de v une infinité de valeurs, et, Wq désignant l'une quel- 

 conque d'entre elles, toutes les autres sont données par la formule 



(') 



pw» 



■p.Uo 



X, p., V et j5 étant quatre entiers réels satisfaisant à la relation Xp — [Vj = t. 

 La fonction inverse f(«) est uniforme et v prend respectivement les va- 



leurs o, I et 00 pour w = \^}^^ nous désignerons par e), pour 



w = / et enfin pour w infiniment grand, de telle manière que le coefficient 

 de i soit positif et lui-même infiniment grand. Nous dirons, avec M. Dede- 

 kind, qne deux nombres u et Wo, liés par une relation de la forme (i), sont 

 équivalents; t» a la même valeur pour des valeurs équivalentes de m. 



» Nous pouvons évidemment supposer que les quantités désignées au 

 début par n el b sont zéro et l'unité. Soit donc G{z) une fonction entière 

 telle que les équations G{z) = o el G{z) = \ n'aient qu'un nombre limité 

 de racines. Posons v^=G{z); (ù deviendra une fonction F{z) de :;, dont 

 les points critiques seront les points racines des équations précédentes, tous 

 situés à distance finie, puisque leur nombre est limité, et le point oo . Je 

 considère un cercle G ayant l'origine pour centre et comprenant à son inté- 

 rieur tous les points critiques de F(s), situés à dislance finie, et j'appelle 

 domaine du point co la partie du plan extérieure à ce cercle; c'est dans ce 

 domaine que nous allons étudier la forme de la fonction. Désignons par w 

 une des déterminations de F [z] dans le domaine du point oo , et soit 



