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 '- — '— la valeur de w quand la variable a fait dans le sens positif le tour 

 complet du cercle C. Je cherche tout d'abord si l'on peut déterminer les 

 cinq quantités a, |3, y, ô et k de manière que "- — y- se reproduise multi- 

 plié par k après cette circulation. Le problème est susceptible d'une solu- 

 tion si (X + pY est différent de 4- 



» Si (X -\- pY est supérieur à 4, «, |3, y et 5 sont réels, et k est positif 

 et différent de l'unité, et l'on aurait, en désignant par n le logarithme 

 arithmétique de k, 



(p{z) étant uniforme dans le domaine du point ao et n'ayant d'autre point 

 singulier que ce dernier; mais le coefficient de i dans le premier membre 

 doit avoir un signe invariable, et l'on peut démontrer que, quelle que soit 

 la fonction uniforme o(z), il ne peut en être de même dans le second. Il 

 est donc impossible que (X + /5)- soit supérieur à 4- Nous n'avons donc 

 qu'à examiner les cas {}. -h p)- — o ei i . 



» Soit X 4- p = o. Alors A- = — i , et l'on trouve aisément a, [3, -y et 5. 



)) On a alors 



V — {\ — i)tù ^ ' ^ '^ 



(p[z) étant uniforme dans le même domaine. En supposant, ce qui est 

 permis, v positif, j'établis que le point co doit être pour ç)(s) un pôle ou 

 un point ordinaire, qui ne soit pas un point racine, et, par suite, le second 



membre augmente indéfiniment avec z; donc m tend vers : : de quelque 



manière que z augmente indéfiniment. Mais r— -- est équivalent à /, et de 



la relation G{z)= i>{w) on conclut immédiatement qiieG(s) tend vers 

 l'unité quand s augmente indéfiniment, ce qui est impossible; X + p ne 

 peut donc être nid. 



» Je démontre, par des considérations analogues, que (X + p)' ne peut 

 être égal à i, car, dans cette hypothèse, « tendrait vers une valeur équiva- 

 lente à £ quand s se rapprocherait du point 00 , et, pnr suite, G(z) tendrait 

 vers zéro, conclusion inadmissible. 



» Nous devons donc nécessairement supposer que (X -i-|3)-=r4- Dans 



