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 centre de la Bohème, l" Partie: Recherches paléontologiques; classe des 

 Mollusques; ordre des Brachiopodes. » 



2° La seizième livraison de la Collection des dessins formant le porte- 

 feuille des élèves de l'École des Ponts et Chaussées. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions anal/liqties uniformes dans te 

 voisinage d'un point singulier essentiel. Note de M. E. Picard, présentée 

 par M. Hermite. 



« On sait que M. Weierstrass, dans son célèbre Mémoire sur les fonctions 

 analytiques uniformes (Mémoires c/e l'Académie de Berlin, 1876), partage en 

 deux classes les points singuliers d'une fonction uniforme : ce sont les pôles 

 et les points singuliers essentiels, f/ilhistre géomètre donne l'expression 

 générale d'une fonction uniforme^ [x) ayant un nombre fini de points sin- 

 guliers essentiels et des pôles en nombre quelconque, et il montre que, 

 dans le voisinage d'un point singulier essentiel A, la fonction s'approche 

 autant que l'on veut de toute valeur donnée, c'est-à-dire que, étant donnés 

 deux nombres (5 et i aussi petits que l'on voudra, on peut trouver, à l'inté- 

 rieur du cercle ayant A pour centre et p pour rayon, un point pour lequel 

 le module de J {ce) — a soit moindre que £, a étant une constante quel- 

 conque. Je me propose de compléter ce dernier théorème en montrant 

 qu'il y a toujours dans le voisinage de A un nombre infini de points pour 

 lesquelsy^(x) devient rigoureusement égal à a, une exception pouvant se 

 produire seulement pour deux valeurs particulières de a. 



» Supposons d'abord que, dans le voisinage de k,f{x) n'ait pas un 

 nombre infini de pôles. Je dis que dans ce cas il ne peut y avoir plus 

 d'une valeur finie a pour laquelle l'équationy [x) = a n'ait pas un nombre 

 infini de racines autour de A. Nous employons des considérations ana- 

 logues à celles dont nous avons fait usage dans une Note récente sur les 

 fonctions entières [Comptes rendus, 20 octobre 1879), et je renverrai à 

 cette Communication pour ce qui est relatif aux propriétés de la fonction 

 w de V, dont j'ai déjà fait usage. Considérons une fonction y^( a?) telle que 

 les équations^ (a;j = a. etj{x) = b n'aient pas dans le voisinage de A un 

 nombre infini de racines; nous |.ouvons supposer a = o et b = i. On 

 pourra décrire du point A comme centre un cercle C ne comprenant à son 

 intérieur aucun pôledey^(a;) ni aucun point racine des équations précé- 

 dentes. Posons maintenant v=^f[x)-^ w deviendra une fonction de x 

 n'ayant dans le cercle C d'autre point singulier que A : c'est dans ce 



