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 domaine que je cherche la forme de w. Je suis pour cela la même marche 

 que dans la Note citée, où j'ai eu à étudier la forme d'une fonction analogue 

 dans le domaine du point oo . J'arrive ainsi à établir que le point A doit 

 nécessairement être poury' (a-) un pôle ou un point ordinaire. Si donc A 

 est un point singulier essentiel, il est impossible que les équations^ ( j:)= a 

 e\f[x) = b aient seulement un nombre limité de racines dans le domaine 

 de A. 



» Envisageons maintenant une fonction uniforme ayant dans le voisinage 

 d'un point singulier essentiel A un nombre infini de pôles. Cette fonction 

 peut se mettre sous la forme (Weierstrass, toc. cit.) 



Gt{x) etGo(a;) étant des fonctions ayant en A un point singulier essentiel, 

 mais ne devenant pas infinies autour de ce point. Il ne peut y avoir plus 

 de deux valeurs « et b pour lesquelles les équations / (a;) = « etf{œ)^b 

 n'aient pas un nombre infini de racines autour de A. Cherchons en effet 

 la forme d'une fonctiony'(x) telle que les équations précédentes n'aient pas 

 de racines dans un certain domaine C autour de A. En met(ant/(a;) sous 

 la forme (I), nous montrons que l'on doit avoir 



(H) 



G, {x) - aG, (x) ^{x- a)"'e'''^\ 

 G,{x) - bG,[x) ^ (a'-aj-'e^'", 



m et n étant des entiers positifs ou négatifs, et a représentant l'affixe de A. 

 P(a;) et Q{x) sont deux fonctions uniformes dans C et n'ont dans ce 

 domaine d'autre point singulier que A. 



» Les équations (I) et (II) donnent de suite 



» Nous allons voir maintenant que l'équation f{x) = c, c désignant une 

 quantité quelconque différente de a et b, admet dans le domaine C un 

 nombre infini de solutions. Cette équation peut en effet s'écrire 



(x - «V'-'«e*i !-)-'• w = ^-=-1'. 



Or elle a dans C une infinité de racines, car la fonction [x — ay-'ngQW-pw 

 rentre dans la classe que nous avons d'abord étudiée; de plus, elle ne peut 

 s'annuler. Par suite, d'après ce que nous avons vu plus haut, en l'égalant à 



