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 telles que, dans le rapport —•, le coefficient de / soit positif. Lorsque l'on 



fait croître indéfiniment m et n, la fonction P(z, m, 71) tend vers une limite 

 fonction de z qui dépend de la loi suivant laquelle m et 7i augmentent 

 ensemble à l'infini; les fonctions limites auxquelles on arrive en changeant 

 cette loi diffèrent l'une de l'autre par un facteur de la forme e'''", h étant 

 une constante. En particulier, j'appelle P(z) la fonction obtenue en fai- 

 sant d'abord ?i = ce , puis ??2 = co , et P,(z) celle qu'on obtient en faisant 

 d'abord m, puis n infinis, et je démontre les foimules 



P (z>P(-z).---sm-^J^', 

 (2) / p,(^)p,(_,^ = %in!L^^, 



P.(^) =e~^"P(^); 



puis je fais voir que toutes ces fonctions peuvent s'exprimer à l'aide de la 

 fonction de M. Heine 



où ç = e " . Ainsi, par exemple, on a 



l étant une constante. La fonction ' — - est une fonction uniforme 



entière, et la formide (i) donne la décomposition de cette fonction en 

 facteurs primaires^ suivant l'expression de M. Weierstrass. On a, en outre, 

 les formules 



CW o/O/^0=,4 1 = '''-i('/)+ V (— ' j""^' ^ '^^—. r-COt- (= + w'-f- 7iu' 





n = o 



(•) BttiOT et BocQUET, Théorie des Jonctions elliptiques, p. I i4 et 817. 

 (') Cette formule (4) est donnée ])ar M. Heine. Voir, par exemple, Handbtich der Kugel- 

 funttionen, p. io5, éq. (4, ^ )• 



