où (ji[fi) désigne le produit 



( 843 ) 



et où le coefficient -r- — - — -. — doit être pris égal à i pour 



Il =: O. 



» J'indique ensuite quelques applications de la fonction ii et de sa dé- 

 rivée logarithmique. Je montre comment, à l'aide de ces deux fonctions, 

 on peut former une fonction uniforme F(s) satisfaisant à l'un ou l'autre 

 des deux groupes de relations 



(5) F(s4-m)-F(£\ F(2-+-./j=/(s)F(;;), 



(6) F(z + w)=-F(zj, F(z4-«') =/(z) + F(z), 



ou j[z) est une tonction rationnelle de sin et cos j m désignant 



un entier quelconque. 



» Ainsi, par exemple, en posant ;/(;•) = O ((y% — — i j 5, (z + z,), où 



z, = "7 — — — — 102 2, on a une fonction vérifiant les deux relations 



ç(z+ Gj) = (/(z), (j(zH-a>') = sin^^g"(z). 



)) Il est encore d'autres applications des fonctions de Heine, à savoir 

 l'évaluation de certaines séries convergentes et de certains produits con- 

 vergents. Ces applications ont été indiquées dans une Note que j'ai eu 

 l'honneur de présenter à l'Académie ('). Les fonctions G(z) et C(z) que 

 j'ai été amené à considérer dans cette Note se ramènent aisément aux 

 fonctions n et <i> de M. Heine. 



» Je termine le Mémoire par quelques considérations sur la formation 

 des fonctions doublement périodiques, considérations qui me conduisent 

 à une expression nouvelle des fonctions elliptiques par le quotient de deux 

 séries. Je démontre, à cette occasion, le développement suivant : 



(7) F(z) =. ^ — ^^ m --.-m -^Mz), 



Comptes rendus, t. LXXXVI, p. gSi. 



