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doublement périodique ordinaire aux mêmes périodes élémentaires que 

 f{x), et dont les pôles, simples d'ailleurs, soient précisément a.^ a^, ■ ■ ■ , 

 «„. Je vais montrer que l'on a 



/(x)= ^ {u'fF.luix)], 



ft' étant la dérivée de u, et Fo, F,, . . . , F„_, représentant des fonctions uni- 

 formes de M, n'ayant d'autre point singulier essentiel que le point oo . 



» Posons u{a:) =J. A chaque valeur finie de j correspondent, dans le 

 parallélogramme P, n valeurs de x, x,, oc,, .. ., x„, différentes de a,, 

 «2, .. . , a„. Je considère les n équations obtenues en donnant successive- 

 ment à X, dans l'égalité 



*-=o 



les valeurs x,, Xn, ... et a?,,. 



» Ces n équations du premier degré en Fq, F,, . . . , F„_, peuvent servir à 

 déterminer ces « quantités; nous allons établir que celles-ci sont des fonc- 

 tions analytiques uniformes de /avec le point oo , comme seul point singulier 

 essentiel. Désignons par ii/. la valeur de u' pour x =^ X/,; les équations (I) 

 donnent, en posant 



P(«') = {u' - u\ ) (^^' -?/,)... {W - «1 ) =^ "'" + U, u'"-' + . . . + U„, 



F, _ u„_,_, 2 p,^^ + u„_,_,2 -pvT + • ■ • + 2 ~~n^) 



» Faisons d'abord abstraction des valeurs de^ en nombre fini pour les- 

 quelles l'équation u[x) = / a des racines égales. Les quantités u^, u'^, ..., 

 m'„, sont alors, en général, distinctes, car on sait que la dérivées' acquiert 

 n valeurs différentes aux 7z points qui, dans un parallélogramme élémentaire, 

 correspondent à une valeur donnée de u (uoîV Briot et Bouquet, Théorie des 

 fonctions elliijt.^p. 277). Tous les termes de F, ont alors une valeur déter- 

 minée, et de plus, x,,X2, ..., x„ entrant symétriquement dans chacun 

 d'eux, F, a luie valeur unique pour chaque valeur de y. Il ne suit pas de 

 là que les F soient des fonctions analytiques dej; mais on peut aisément 

 rétablir, en faisant voir que, dans le voisinage d'une valeur a de j-, elles 

 peuvent, après avoir été multipliées, s'il est nécessaire, par une puissance 

 entière convenable dej- — a, être développées en une série procédant sui- 



