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 vant les puissances de r — a. Il peut arriver que, pour certaines valeurs «, 

 de M, plusieurs valeurs de u' soient égales, quoique l'équation n = a, ait 

 ses racines distinctes; dans ce cas les valeurs de u' sont des fonctions ho- 

 lomorphes de u dans le voisinage de «,, et la conclusion à laquelle nou^ 

 venons d'arriver subsiste encore. 



)) Considérons maintenant le cas où/ aurait une valeur a, telle que l'é- 

 quation u{x) = a possède une racine multiple a d'ordre p.. L'équation 

 u{jc)=:2', }' différant très peu de a, possède p. racines x,, x,, . . . , x^^ 

 voisines de a; je montre que la somme 



!• = ?■ 



Z P'(«a) ' . 



A = 1 



OÙ X est un entier positif inférieur à n, relative à ces u. racines, peut, après 

 avoir été multipliée, s'il est nécessaire, par une puissance convenable de 

 j>' — a, être développée dans le voisinage de )' = a, en une série procédant 

 suivant les puissances croissantes de ) — a. On en conclut alors facilement 

 que le point a est, pour chacune des fonctions F, un pôle ou point ordi- 

 naire. Il est donc bien établi que ces fonctions sont des fonctions analy- 

 tiques uniformes, n'ayant d'autre point singulier essentiel que le point oo . 



» Il sera facile de trouver maintenant une expression générale d'une 

 fonction doublement périodique de seconde espèce, ayant les points sin- 

 guliers essentiels «,,«2? •••' a„ dans le parallélogramme P, car il suffira 

 de multiplier l'expression générale des fonctions périodiques de première 

 espèce, que nous venons d'obtenir, par une fonction ordinaire quelconque 

 de seconde espèce ayant les mêmes multiplicateurs. 



« J'espère pouvoir montrer, dans une Comaumication prochaine, l'usage 

 que l'on peut faire de ces expressions générales pour l'inlégralion d'une 

 classe d'équations linéaires du second ordre, à coefficients doublement 

 périodiques, sur laquelle les belles recherches de M. Hermite, relatives à 

 l'équation de Lamé, ont appelé l'attention des géomètres, où les fonctions 

 intégrales pourront avoir non-seulement des pôles, mais des points singu- 

 liers essentiels. » 



