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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur tes formes quadratiques. Note de M. H. 

 PoiNCARÉ. (Extrait par l'auleur.) 



a Cette Note est destinée à faire suite à un travail analogue présenté à 

 l'Académie le ii août 1879. Ce travail avait pour objet certaines pro- 

 priétés des formes quadratiques définies et indéfinies ; je n'ai fait ici que 

 développer les résultats obtenus, en me restreignant aux formes définies. 



» Après avoir donné une expression nouvelle des fonctions doublement 

 périodiques sous forme d'inlégrale définie , j'envisage une forme qua- 

 dratique définie 



F = am~ + 2 hiun -f- cfi-, 



à laquelle je fais correspondre un réseau parallélogrammatiqueR, dont les 

 différents points ont pour coordonnées 



x -- m \la-{- n-=i 



lac — h^ 



)) Dans ces expressions de x et de j-, m et n peuvent prendre toutes les 

 valeurs entières, positives et négatives. 



» De cette façon, à une forme F' équivalente à F, correspondra un 

 réseau R' égal à R, et, pour changer R en R', il suffit de le faire tourner 

 autour de l'origine, d'un certain angle que j'appelle anqle de transfor- 

 mation. Je donne le moyen de calculer les paramètres de la transformation 

 quand on connaît l'angle et les coefficients des deux formes F et F'. 



» On sait que, si F dérive de F' par la transformation 



«> 7' 



où a, |3, 7, (? sont des quantités quelconques satisfaisant à la condition 

 unique ac? — /3y = i , la quantité b- ~ ne n'est pas altérée par la transfor- 

 mation, et que c'est là le seul invariant des formes quadratiques. 



» Mais si, de plus, les paramètres a, [i, 7, â sont assujettis à rester en- 

 tiers, il existe une infinité de fonctions des trois coefficients a, h el c qui 

 ne sont pas altérées par la transformation. Tels sont, par exemple, les 



