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coefficients de la forme réduite équivalente à la forme donnée. Ces fonc- 

 tions sont, pour ainsi dire, des invariants arithmétiques, pendant que 

 h"^ — ac est un invariant algébrique. Parmi ces invariants, j'examine en 

 particulier les séries 



/!:=-+•<» ni- 



1 S 



2Ôr, 



où l'on doit exclure les valeurs m = o, n = o, qui peuvent s'exprimer à 

 l'aide d'intégrales doubles définies. Mais la connaissance d'un invariant ne 

 donne qu'une chose : une condition nécessaire, mais non suffisante, de 

 l'équivalence de deux formes. La connaissance des covariants arithmé- 

 tiques permet, au contraire, de reconnaître à coup sûr si deux formes sont 

 équivalentes et, si elles le sont, de trouver la transformation qui permet 

 de passer de l'une à l'autre. J'appelle covariant toute fonction des coeffi- 

 cients d'une forme qui est égale à la fonction analogue des coefficients de 

 toute forme équivalente multipliée par une fonction connue de l'angle de 

 transformation Q. 



» Si donc on connaît deux formes F et F' que l'on sait être équivalentes, 

 ou calculera le covariantde chacuned'elles, et,durapport de ces covariants, 

 ou déduira facilement l'angle et, par conséquent, les paramètres a, j3, y, 5 

 de la transformation. Si l'on ne sait pas à l'avance que les deux formes sont 

 équivalentes, on supposera qu'elles le sont ; on calculera a, p, 7, 8, et, une 

 fois que l'on connaîtra les valeurs que devraient avoir ces paramètres, à 

 supposer que F et F' soient équivalentes, il sera aisé de reconnaître si l'hy- 

 pothèse faite au début était exacte. 



» J'ai envisagé une série de covariants arithmétiques 



1 1 



b^-'-'-M^T 



et j'ai donné deux moyens de les calculer, soit à l'aide d'une intégrale dé- 

 finie, soit à l'aide de la série 



UmC 



iinç 



ou w,„ représente des puissances {2k — i)''"" des diviseurs du nombre m. 

 1) Comme application, j'ai donné la décomposition d'un nombre pre- 



