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 mier de la forme 4" + •> en deux carrés, au moyen d'une intégrale dé- 

 finie. » 



GÉOMÉTRIE. — Détermination de courbes et de surfaces satisfaisant a des con- 

 ditions de contact double. Note de M. H. -G. Zedthen, présentée par 

 M. Chasles. 



« On doit à M. Chasles une expression du nombre des courbes d'un 

 système à caractéristiques données qui sont tangentes à une courbe dont on 

 connaît l'ordre et la classe. Je désignerai par n l'ordre de la courbe donnée, 

 par ci et e les nombres de ses points doubles et stationnaires, par p. la 

 première caractéristique du système, et, pour mettre la dualité aux yeux, 

 par «', d', e', p,' les nombres qui correspondent selon le principe de dualité 

 aux précédents : p.' est, par exemple, la seconde caractéristique du système. 

 Alors, selon le théorème de M. Chasles, le nombre dont nous venons de 

 parler est égal à 



7i' [j. + np.'. 



» On trouve dans un Livre de M. Schubert, qui vient de paraître, /fa/Aii/ 

 der abzâlilenden Géométrie, une démonstration de ce théorème, que j'ai 

 trouvée applicable aussi à la déduction de résultats ultérieurs. 



» M. Schubert fait usage de la circonstance que le nombre cherché sera 

 le même pour une série de courbes homologiques entre elles, substituées à 

 la courbe fixe, quand même le système donné reste inaltéré. Il suffit donc 

 de résoudre le problème pour une seule courbe de cette série. Il est le plus 

 commode de choisir celle qui s'est réduite à une droite n triple, coïnci- 

 dente avec l'axe d'homologie, pendant que ses tangentes sont devenues les 

 droites passant par n' points fixes (sommets) de la droite. Les solutions 

 cherchées seront, dans ce cas particulier, les //p. courbes du système qui 

 passent par les n' sommets, et les fjt,' courbes tangentes à la droites triple 

 comptées n fois. 



» Nous ferons usage de la même dégénération de la courbe fixe pour 

 déterminer le nombre des courbes d'un système doublement infini qui 

 ont avec elle deux contacts simples ou un contact du second ordre. Nous 

 désignerons par (/j.-), (pp.') et (p/-) les nombres des courbes du système 

 qui passent par deux points donnés, qui passent par un point donné et sont 

 tangentes à une droite donnée ou qui sont tangentes à deux droites données, 



