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 par [^-[J.'] celui des courbes qui sont tangentes à une droite donnée en un 

 point donné, par D et E ceux des courbes du système dont un des points 

 doubles ou stationnaires qu'on attribue à toutes les courbes du système 

 a une position donnée, et par D' et E' les nombres corrélatifs. Dans la 

 déduction, nous aurons encore besoin d'une notation x du nombre des 

 courbes passant par un point donné d'une droite donnée et tangentes à 

 celle-ci en un point inconnu et différent du point donné, et d'une nota- 

 tion j' du nombre des courbes du système qui ont un sommet double (' ) 

 sur une droite donnée. Ces deux nombres .x et j s'expriment par les équa- 

 tions suivantes, qu'on obtient en prenant un point donné sur luie tangente 

 donnée (i) et en faisant coïncider deux tangentes données (2) : 



(i) (f;,a') = .r+2[,m'], 



(2) (p.'n==[,aa'] + 2iy-h3E' + j. 



» On trouve maintenant, en se rendant compte de toutes les manières 

 dont une courbe du système peut avoir deux contacts avec la courbe dégé- 

 nérée, l'expression suivante du nombre des courbes ayant deux contacts 

 avec une courbe donnée, 



-^(p.^) -hnn'x 4- in'[n.— 2)[p.[j.'] + '^[fi.u.'J 



2 2 '' 



ou, en réduisant au moyen des équations (i)et(2) et des équations de 

 Plùcker, 



où nous avons posé 



3 n -j- e' = 3 // -i- e = 2 /•. 



)) On trouve de la même manière l'expression suivante du nombre des 



(') Un sommet est un point d'une courbe dégénérée où toute droite passant par lui est 

 tangente. Un sommet double est formé par la coïncidence de sommets. Un nouveau point 

 double est le plus simple exemple d'un sommet double. Notre démonstration ne cesse pas 

 d'être juste si plus de deux sommets coïncident : alors plusieurs sommets doubles coïn- 

 cident. 



