( 90I ) 



courbes du système qui ont un contact du second ordre avec une courbe 



fixe ( ' ) 



ar[jj.jL;.'] -h nE' 4- ii'E. 



» On trouve, par un procédé analogue, le nombre des surfaces d'un sys- 

 tème doublement infini, qui ont deux contacts simples ou un contact sla- 

 tionnaire avec une surface fixe. 



» Nous désignerons par /i l'ordre de la surface fixe, par a son rang (classe 

 d'une section plane), par b et c les ordres de sa courbe double et de sa 

 courbe cuspidale. Nous désignerons par {[j.-) le nombre des surfaces du 

 système qui passent par deux point donnés, par (p.v) celui des surfaces 

 qui passent par un point donné et sont tangentes à une droite donnée, par 

 [p-v] celui des surfaces qui sont tangentes à une droite donnée, en un 

 point donné, par B et C ceux des surfaces dont la courbe double ou 

 cuspidale passe par un point donné, et par D et E ceux des surfaces ayant 

 deux contacts ou un contact du second ordre avec une droite donnée. 



» En ajoutant des accents, on aura les notations des nombres corrélatifs, 

 dont toutefois a\ D' et E' seront identiques à a, D et E; de même, le sym- 

 bole v' aurait la même signification que v. 



» On trouve avec ces notations l'expression suivante du nombre des 

 surfaces du système qui ont deux contacts avec la surface fixe : 



ilj}) 4- nn'(!J.sj.') + '^^^^ {pr-) + an'ip.,) + an{ix'.) + "-^^ (v^-) 

 + «'B + 72 B' + aVi - 3r'[p.v] - 3r[/jL'vj, 

 où 



» Le nombre des surfaces du système qui ont un contact slationnaireavec 

 la surface fixe sera 



2r'[f7.vJ + 2r[/j.'v] H- «'C + tiCJ 4- aE. 



» On voit sans difficulté que le même procédé est applicable à la solu- 

 tion de beaucoup d'autres questions, par exemple à la détermination du 

 nombre des courbes d'un système simplement ou doublement infini qui 

 rencontrent une courbe ou une surface une ou deux fois sous des angles 

 donnés. » 



(') Ayant cominiiniqué ce dernier résultat à M. Schubert, j'ai appris qu'il venait de \ê 

 trouver par un procédé très différent du mien. 



C. R., 1879, a' Semestre. (T. LXXXIX, h" 21.) . 119 



