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MÉCANIQUE CÉLESTE. — Démonstration, au moj en des fonctions elliptiques, 

 d'un lliéorème dans la théorie de la libration de la Lune. Note de M. Hugo 

 Gyldén. 



« Laplace a démontré, dans la. Mécanique c^/es<e (F* Partie, LivreY, Ch.Il), 

 le théorème important que les deux moyens mouvements de la Lune, de 

 rotation et de révolution, sont parfaitement égaux entre eux. Puis, l'il- 

 lustre géomèlre fait voir qu'il n'est point nécessaire, pour cette égalité 

 parfaite, qu'à l'origine les deux mouvements aient été égaux; il suffit qu'à 

 celte origine la différence entre eux ait été comprise entre certaines limites. 



» La démonstration de cette proposition exige l'intégration d'uneéquation 

 différentielle de second ordre, intégration effectuée par l'auteur de la Mé- 

 canique céleste en supposant l'angle que fait le rayon vecteur et le premier 

 axe principal très petits. Cette restriction n'étant pas dans l'état actuel de 

 l'Analyse mathématique nécessaire, on me permettra de donner en quelques 

 lignes une nouvelle démonstration du théorème dont j'ai parlé. 



» Si l'on emploie les notations de M. Resal [Traité élémentaire de Méca- 

 nique céleste) et qu'on néglige les termes dépendant de l'excentricité de l'or- 

 bite lunaire, l'équation dont il s'agit est la suivante : 



d'$ 3 „ B — A . 



» En désignant par C une constante arbitraire, on en conclut 



1 fds\ - „ 3 , B — A . , 

 - —1 =C n- — -— sin£% 



2 \(lt/ 2 G ' 



d OU il resuite, si l on pose k- =■- — — r^— » 



» Si le module M est plus petit que l'unité, l'expression de £ renferme 

 évidemment un terme qui est multiplié par le temps ; par conséquent, les 

 deux moyens mouvements ne sont pas égaux. Dans le cas contraire, où 

 A > I, on voit facilement que le terme multiplié par le temps disparaît et 

 que l'égalité entre les deux mouvements a lieu. 



