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 à un système simplement infini de courbes, seulement avec une légère 

 modification. 



» Nous représenterons l'ordre et la classe des courbes du système par 

 les mêmes notations ii et 7i' qui appartenaient, dans la précédente Commu- 

 nication, à la courbe fixe, et nous désignerons les caractéristiques du 

 système par ^j. et fi.', les ordres des lieux de leurs points doubles et station- 

 naires par b el c;b' ei c' ont les significations corrélatives. 



» En général, une courbe du système se réduira par notre transformation 

 homologique à une droite n triple douée de «' sommets, soumis à «'— i 

 conditions telles, qu'il en existe [x' groupes contenant un sommet donné. 

 Seulement chacune des p. courbes passant par le centre d'homologie et 

 une infinité de courbes infiniment voisines d'elle se réduiront à des 

 courbes composées d'une droite n — i triple fixe et d'une droite simple 

 passant par un point fixe de la droite multiple ; ce point d'intersection 

 sera un sommet double, et les courbes ont encore, sur la droite multiple, 

 7i' — 2 sommets simples et fixes. Les lieux des points doubles et cuspidaux 

 se réduiront à une droite b triple et une droite c triple, coïncidant avec 

 l'axe d'homologie, et les enveloppes des tangentes doubles et stationnaires 

 se réduiront à b' et c' points fixes de la même droite. 



» Grâce à la décomposition du système, la détermination de ses courbes 

 par des conditions données se réduit à la détermination de points d'une 

 droite fixe, et de droites par des points fixes. 



» La méthode que nous venons de décrire est très commode pour la dé- 

 termination des courbes du système qui ont deux contacts simples ou un 

 contact stationnaire avec des courbes d'un autre système. On trouve, en 

 distinguant par les suffixes i et 2 les nombres qui ont rapport aux deux 

 systèmes, l'expression suivante du nombre des couples de courbes des deux 

 systèmes qui ont entre elles deux contacts simples : 



(n\ TÛ — 4) fA,f.2 + (". - 0(^4 — ')/-'-i,"4 + {'i'i — 0(«2 — Op-'i ,'-'-2 



+ {n, ru — 4)p.', fJ-'a + l>s p-2 + ^i\>'-i + è'i /^2 + ^'2 V-\ ' 



et l'expression suivante du nombre des couples de courbes des deux sys- 

 tèmes qui ont entre elles un contact stationnaire 



3 ,U., (U -+■ 3/jr.', fJ.'^ h C, ^«,'2 + C, IX ^ -+- C\ jJ.., + C'2 [Xt . 



» On peut résoudre les problèmes analogues pour l'espace d'une manière 

 analogue. Nous désignerons par n l'ordre d'une surface d'un système, para 

 son rang, par p., v et |u,' les caractéristiques du système, par B et F les 



