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 ordres des lieux des courbes doubles et cuspidales des surfaces du système, 

 et par A et E les ordres des complexes formés de leurs tangentes doubles 

 et stationnaires. Nous formons les notations des nombres corrélatifs au 

 moyen d'accents, et nous distinguons par les suffixes i et 2 les nombres 

 appartenant à deux systèmes. 



» Alors on trouve l'expression suivante du nombre des couples de sur- 

 faces de deux systèmes qui ont entre elles deux contacts simples : 



+ {a,TÛ— l^)lx,Vn 4- {n\an— 4)v,p.2+ («i<?2 — 4)V|/J.'2 



-h {a,?l2 4)P''l Vo + («^1 — 0(^2 — l)V|^2 +^l ^2 + ^2V, 



+ B, /jl', + B, p.'i + B', p-j + B'2 fj-, , 



et l'expression suivante du nombre des couples de surfaces des deux sys- 

 tèmes qui ont entre elles un contact slationnaire 



3p., Vo + 3vip,2+ 3v,p.'2 -f- 3p,', Vo -1- E, Vo + EjV, 



+ r, p.; + Tjp.'i -I- r', po+ r'ofi, . » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur des séries relatives à la théorie des nombres. 

 Extrait d'une Lettre de M. Lipschitz à M. Herniite. 



« Dans son Mémoire sur le nombre des nombres premiers inférieurs à 

 une limite donnée, Riemann a fait usage, pour la réversion d'une relation 

 importante, de la série (T), — 2, — 3, — 5, 6, — 7, . . ., contenant tous 

 les entiers qui ne sont divisibles par aucun carré, cbacun pris avec le 

 signe + ou — , selon qu'il résulte de la multiplication de facteurs pre- 

 miers en nombre pair ou impair. Or, on peut employer cette même série 

 pour la réversion de quelques relations d'un genre différent, d'où résultent 

 des théorèmes que je vais vous indiquer. Mais permettez-moi d'appeler 

 auparavant votre attention sur ce fait remarquable, qu'on peut, sans con- 

 naissance préalable des nombres premiers, par un procédé semblable au 

 crible d'Eratosthènes, trouver successivement tous les termes de (T). 



» Écrivez dans une première ligne horizontale les nombres naturels 

 I, 2, ..., mettez dans une seconde ligne horizontale le premier nombre 

 qui surpasse l'unité, c'est-à-dire 3, pris avec le signe — , puis tous les 

 multiples de — 2, de manière que chaque multiple soit placé sous le 

 nombre égal de la première ligue, et ajoutez toutes les lignes verticales. 



