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s'obtient, ainsi que celle de Lamé, dans le cas de « = i , par des fonctions 

 doublement périodiques de seconde espèce, ayant la demi-période iK.' pour 

 in6ni simple. Pour y parvenir facilement, il convient de représenter les 

 quantités ikcnu, ksnu, idnu par U,,!!,, U3, de manière à avoir sous 

 forme entièrement symétrique : 



D„U,= -U„U3, D„Uo = -U,U3, D„U3 = -U,U2. 



Cela étant, si nous changeons successivement s en -i -h s, \ — s, Z — s, on 

 obtiendra, en écrivant, pour abréger, 4>i au lieu de $^(m) et e^ pour 

 X+Dalog5,_j(a), ces trois groupes de deux équations, à savoir : 



lU.^, _,= £,_,$, -D„0„ 



1 U3<ï>3_,^£3-.^. -D„$,. 



L'élimination successive des quantités $2+^, <^,-s, ^3-$ donne ensuite 



(I) T>l^s - {h+h^s +D„ logU,)D„$,+ (£,S2+.4- £2«D„ logU, -U^)$, = o, 



(II) DI$,-(£, + £,_H-D«logU;jD„(I),+ (£,£,_, + £,_,DJogU2-U^)$, = o, 



(III) D=a>,-(£,H-£3-. + D„logU3)D„a),+ (£,£3_, + £3_,D„logU3-U^)$, = o. 



Nous avons donc trois équations du second ordre dont une solution parti- 

 culière est la fonction ^s{u) ; voici comment on parvient à les intégrer com- 

 plètement. 



» Faisons successivement dans (I), (II) et (III) 



on aura pour transformées : 



D*X,-D„logU,D„X, - (§?+(?, logU,4-U?)X, = o, 

 D'„Xj - D„ logU2D„X2 - ((^5 + ^2 logU, + U^ )X„ = o, 

 D;,X3 - D„ logU3D„X3 - ( §| + c?, logU3 + U^ ) X3 = o, 



