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 » Pour démontrer ces relations (4), il suffit d'appliquer les formules (2) 

 et de se rappeler la propriété de la fonction O exprimée par l'équation 



» II. Application. — Soit proposé de former une fonction uniforme F(z) 

 vérifiant les deux équations 



(5) Fiz + o>) = F{z), F(s-co')=/(2)F(z), 



J{z) étant une fonction uniforme donnée. Le problème n'est possible que 

 siy(z) admet la période w. J'ai indiqué précédemment (') comment on 



peut former F(z) lorsque ^(z) est une fonction rationnelle de sin ^^ — » 

 cos^^' Si la fonction donnée y^(z) admet, outre la période u, une autre 



période quelconque 0/', on pourra former une fonction F(z) satisfaisant 

 aux relations (5) de la façon suivante. 



» La fonction donnée /(z), aux périodes cj et w", peut se mettre sous la 

 forme 



(6) Ji^)-^^~^u'é^ 



A = i 



» Formons, à l'aide des fonctions d, une fonction F, (z) telle que 



F,(z + w)^F,(s), F,(z + ù/) = Ae"''"' "" e "'F,(z). 

 » La fonction 



satisfait à la question. Cette fonction F(z) vérifie, en outre, la relation 

 F(z + w") =:/, (z)F(z),y, (z) étant une fonction doublement périodique, 

 aux périodes w et w', qu'il serait facile de former. 



M Si, dans ce qui précède, on suppose w"= w', on retrouve les fonctions 

 qui ont fait l'objet d'une Note de M. Picard (^). » 



(') Comptes rendus, t. LXXXIX, p. 84 1. 

 (=) 7i(W., t. LXXXVI, p. 657. 



