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espèce ayant chacune un pôle unique n = o, et représentées par les 



formules 



. _ H(K + a)eP" _ H(tt +p)e?" 



je me propose de former en général l'équation du second ordre, admettant 

 pour intégrale l'expression 



if = CA + C'B, 



qui est 



en posant 



a-' 



A 

 A' 

 A" 



B 

 B' 

 B" 



= fjr"-|ia'+©j^ = o, 



|1 = AB' - BA', «a = A'B" - B' A". 



» Nommons pour un moment jj. et fji' les multiplicateurs de A, v et v' 

 ceux de B; on voit d'abord que les coefficients 1) et C& sont des fonctions 

 de seconde espèce aux multiplicateurs p.v et jji'v', ayant de même pour seul 

 pôle M = o, qui est uu infini double pour 11 et un infini triple pour ©. 

 L'équalion '^zzr.o n'admet ainsi à l'intérieur du rectangle des périodes 

 que deux racines, ii=- a et n =z h, et, en décomposant en élémenls 



snnples les fonctions de première espèce, ^ et — » on aura les expressions 



P 1? 



suivantes 



El 

 1? 



<ù 



H'(«- 



H(tt — a) 

 PH'fa — «) 



H' 



Bill — a] 



Ha 



H(< 

 RH'(«) 



a lu) 



X, 

 S, 



où P, Q, . . . sont des constantes assujetties à la condition P -i- Q 4- R = o. 



» Les quantités a et b, que nous venons d'introduire, représentent donc, 

 à l'égard de l'équation différentielle, des points que M.Weierstrass nomme 

 à apparence singulière, « = o étant seul un point singulier. Ce sont les vé- 

 ritables éléments qu'il convient d'employer comme appropriés à la forma- 

 tion de l'équation différentielle, au lieu des constantes a, |3, p, q qui 

 entrent dans les fonctions A et B. Je me fonderai, à cet effet, siu' le lemme 

 suivant , qui donnera, par un calcul facile, la détermination des coeffi- 

 cients P, Q, . . . . 



M Considérons l'équation différentielle 



J"-/(«)J'+&(")J = 0' 



