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3° Une Lettre de M. L. Lalanne à M. Hermite, extraite du Répertoire de 

 Mathématiques pures et appliquées, publié à Leipzig par MM. Rœnigsberger 

 et Zeuner. Cette Lettre est une réponse à un article qui avait paru dans 

 le même Recueil, au sujet de l'origine de certaines méthodes graphiques, 

 et notamment de V anamorphose obtenue par l'emploi de coordonnées gra- 

 duées. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une propriété de certaines fonctions analogues 

 aux fonctions algébriques. Note de M. E. Picard , présentée par 

 M. Hermite 



« Considérons une fonction de la variable z, ayant en chaque point du 

 plan un nombre fini m de valeurs, et n'ayant dans toute l'étendue du plan 

 qu'un nombre limité de points singuliers; soit, d'une manière générale, A(-) 

 une pareille fonction. Je me propose de montrer dans cette Note que les 

 considérations dont j'ai déjà fait usage dans l'étude des fonctions entières 

 peuvent être étendues aux fonctions de cette nature. Nous allons établir 

 qu'il ne peut y avoir denx valeurs a et b pour lesquelles les équations 

 A(z) = aet A(z) = b aient seulement un nombre limité de racines, à moins 

 que la fonction A(z) ne soit une fonction algébrique. 



M Je vais employer la fonction w de v, qui m'a servi précédemment 

 {Comptes rendus, 20 octobre 1879). Cette fonction de la variable illimitée v 

 n'a que les trois points critiques o, i et 00 ; de plus, pour toute valeur de v, 

 le coefficient de i dans w, mise sous la forme ordinaire des imaginaires, est 

 positif, et, u désignant l'une quelconque des valeurs de la fonction en un 

 point du plan, toutes les autres sont comprises dans la formule 



(I) \^^, 



X, p., V et p étant quatre entiers satisfaisant à la relation Ip — pv := i, 



» Supposons, ce qui est possible, que les quantités désignées au début 

 par aetb soient zéro et l'unité. Soit donc A(z) une fonction telle que les 

 équations A(z) = o et A(s) = i n'aient qu'un nombre limité de racines. 

 Posons V = A(z), w deviendra une fonction F(z) dont les points critiques 

 seront les points racines des équations précédentes et les points singuliers 

 de A(z). Désignons par A un de ces points singuliers, que nous supposerons 

 être l'origine. Je vais étudier la forme de F(z) dans le domaine de ce point, 



