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 c'est-à-dire à l'intérieur d'un cercle ayant A pour centre, et ne comprenant 

 à son intérieur aucun autre point singulier de A(jz), ni aucun point racine 

 des équations écrites plus haut. Envisageons une des déterminations 

 de A(z) dans ce domaine; cette fonction reprendra la même valeur quand 

 la variable aura fait un certain nombre de tours autour de A, puisqu'elle 

 possède en chaque point im nombre limité de valeurs; soit p ce nombre. 

 Nous poserons z = z'p et A(z'''), regardée comme fonction de z', sera uni- 

 forme autour de l'origine dans ce second plan. Prenons maintenant une 

 des déterminations de w[A(z''')]; après un tour complet, w prendra une 

 valeur de la forme (1). Or on peut établir d'une manière générale que 

 toute fonction d'une variable z' n'ayant dans le voisinage d'un point a 

 d'autre point singulier que ce point, prenant une valeur de la forme (1) 

 après une circulation autour de «, et pour laquelle, de plus, le coefficient 

 de i est toujours positif, doit nécessairement avoir en a une valeur parfai- 

 tement déterminée; il suit de là que w[A(z''')] a pour z = o une valeur 

 déterminée, et de la relation inverse A(z''') = v(w) on conclut alors 

 que A(z''') tend vers la même valeur ou augmente indéfiniment, de quelque 

 manière que z' se rapproche de zéro. L'origine est donc, pour cette 

 fonction, un pôle ou un point ordinaire, et l'on peut écrire dans le voisi- 

 nage de ce point 



A{z'P) = ^(«0+ a, 3' +«22'=' -H...), 



m étant un entier, par suite, 



A(z) = 4i(«uH- «.z^+.. .) 



ce qui montre que pour la branche considérée de A(z), et par suite pour 

 toutes, le point A est un point critique algébrique. Le même raisonnement 

 peut se faire pour tous les points singuliers ; la fonction A(z), n'ayant dans 

 tout le plan que des points critiques algébriques et lui nombre limité de 

 valeurs en chaque point, est bien alors, d'après un théorème démontré 

 par MM. Briot et Bouquet, une fonction algébrique de la variable z. 



D Dans ce qui précède, nous avons compris sous la dénomination de 

 points singuliers les pôles de la fonction ; si l'on ne compte pas ces derniers 

 parmi les points singuliers, et si l'on suppose que A(z) puisse avoir des 

 pôles en nombre quelconque, et situés d'une manière quelconque, on 

 pourra démontrer la proposition suivante : Il ne peut y avoir trois valeurs 

 a, b, c, telles que les équations A(z) = a, A(z) — h el A(z) = c aient seu- 



