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letiient un nombre limité de racines, à moins que A(z) ne soit une fonction 

 algébrique. Considérons, par exemple, une fonction uniforme R(z) n'ayant 

 dans tout le plan que des pôles ; si les trois équations R(-) =^ a,K[z) =6 

 et R(z) = c, où a, b et c sont trois nombres différents, n'ont qu'un 

 nombre limité de racines, ^{z) sera une fonction rationnelle. 



» Je termine par une application de cette dernière remarque. Envisa- 

 geons l'équation différentielle du premier ordre et du premier degré de la 

 forme suivante : 



^(*'^) ê = (■>' - "") 0' - *) (r - ^)./(^: j). 



«, è et c étant trois constantes différentes, F études polynômes en x 

 et y ; on suppose évidemment que les deux membres de l'équation n'ont 

 pas de facteurs communs. Je dis que, si une telle équation admet une inté- 

 grale uniforme dans tout le plan, cette intégrale ne pourra être qu'une 

 fonction rationnelle. En effet, une telle intégrale ne pourra devenir égale 

 à a qu'aux points x racines de l'équation 



F(a:, a) = o, 



points dont le nombre est limité, à moins de se réduire à la constante a 

 elle-même. De même, j" ne pourra devenir égale a b et c que pour des 

 valeurs de x racines des équations F(x, Z») = o et F(x, c) = o. Les équa- 

 tions ^ r= a, ^" =: i et / = c n'ayant qu'un nombre limité de racines, et la 

 fonction ^ étant, par hypothèse, uniforme dans tout le plan, elle sera une 

 fonction rationnelle. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'impossibilité de la relation algébrique 

 X" + Y" +Z" = o. Note de M. R. Liocville. 



« L'équation X"-\-Y" — Z", dans laquelle X, Y, Z représentent des 

 fonctions algébriques, rationnelles et entières de degré quelconque, n'est 

 possible que si n est égal à l'unité. 



, ainsi que 



V^l — a" 



trois polynômes X, Y, Z, fonctions d'une même variable t et supposés 

 satisfaire à ride.ntilé précédente. Si l'on pose a = ^ » l'intégraleU s'exprime 



