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la détermination des lignes de courbure de cette surface de la quatrième 

 classe, qui dépend, comme les cyclides, de treize paramètres, résulte de 

 l'application immédiate d'un théorème de Géométrie que j'ai donné en 

 1872. Je vais d'abord montrer comment on peut effectuer cette détermi- 

 nation par le calcul. 



» Prenons l'équation d'un plan sous la forme 



en supposant 



U.V ■+■ vy -t- u-r- + /j = o, 

 ur + v- + \\'^ = \. 



1) L'équation de la surface générale de quatrième classe considérée peut 

 être ramenée, par un choix convenable des axes, à la forme 



» L'équation différentielle de ses lignes de courbure, que l'on obtient 

 aisément, est 



cw-^c' n'u-\-b'v-\-c'w 

 cdw a'ilu-^b'dv-\-c'(h\> 



w —I 



^iv o 



-o, 



H du 4- vdv + wdw = o. 



» On peut, en introduisant deux arbitraires )>, a et une. différentielle dt 

 pour l'homogénéité, écrire 



: a'u -+- b\' ~h c'w -\-\ — \j. , 



et l'équalion (2) s'obtiendrait en éliminant )., ix, dt entre ces cinq équa- 

 tions. Si nous cherchons au contraire à déterminer d'abord X et [a, et que 

 nous éliminions les différentielles, nous aurons 



y au v* «* 



