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 on, en éliminant a et après quelques réductions, 



.»> V^««2+ ?,«'« _V' {(l'v—b'u)- 



» Or, il est bien remarquable que, conformément à ce qui se passe 

 quand on applique une méthode analogue aux surfaces du second degré, 

 l'intégrale générale de l'équation (2), c'est-à-dire l'équation finie de la ligne 

 de courbure, s'obtient en donnant à X une valeur constante quelconque 

 dans l'équation (3). 



» Au reste, on peut rattacher les propositions précédentes à des théo- 

 rèmes donnés par M. Laguerre dans un beau Mémoire inséré au Tome II 

 du Journal de Mathématiques, 3* série, p. \^5. M. Laguerre détermine 

 d'abord les lignes de courbure d'une surface particulière de quatrième 

 classe; je me suis assuré qu'elle est comprise dans l'équation (i) et qu'elle 

 correspond au cas où b' et a' sont nuls. Puis il fait connaître, d'une ma- 

 nière générale, les lignes de courbure des anticausiiques par réfraction 

 relatives à des rayons parallèles de direction quelconque qui tombent sur 

 une surface du second degré, mais sans indiquer la classe et le degré de 

 généralité de ces anticaustiques. Or il est très aisé de démontrer le théo- 

 rème suivant : 



» La surface de qualiième classe corrélative de la surface à conique double 

 et ayant le cercle de l'infini comme ligne double peut être considérée de quatre 

 manières différentes comme une anticaustique par réfraction relative à des rayons 

 parallèles tombant sur une surface du second degré. Les surfaces du second degré 

 correspondantes aux quatre modes de génération sont homofocales ; elles passent 

 par les quatre coniques doubles de la surjace de qualticme classe, et dans chaque 

 mode de génération les rayons lumineux sont normaux au plan de la conique 

 double correspondante. 



» On peut encore énoncer celle proposition sous la forme suivante : 



» La surface de quatrième classe qui vient d'être définie peut être considérée 

 de quatre manières différentes comme l'enveloppe des sphères ayant leur centre 

 sur une surface du second degré et coupant un plan fixe sous un angle con- 

 stant. 



') Il y a encore d'autres propriétés géométriques; je les développerai 

 ailleurs. On voit toutefois que les résultats donnés dans celle Note de- 

 viennent, par l'emploi du théorème précédent, qui me paraît nouveau, de 

 simples conséquences des propositions élégantes dues à M. Laguerre. » 



