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q racines y voisines de vj se partageant en un certain nombre de systèmes 

 circulaires. Considérons un quelconque de ces systèmes circulaires com- 

 prenant r racines; si l'on fait 



chacune de ces r racines est représentée par un même développement en 



série 



^ = ï3 + atx' + a^x'^ -\- . . ., 



procédant suivant les puissances positives entières de x'. D'autre part, si 

 l'on substitue ces expressions de x et dey en fonction de x' dans l'équation 

 différentielle proposée, cette équation se transforme en une autre dont les 

 coefficients sont des fonctions uniformes de x' dans le domaine du point 

 a;'=o, certains de ces coefficients pouvant devenir infinis poura;' = o. 

 Nous supposons ces coefficients tels que le point x' = o soit un point ordi- 

 naire ou un pôle de la fonction intégrale. Cette même condition devra être 

 remplie pour chacun des systèmes circulaires dans lesquels se partagent 

 les q racines y voisines de v;. 



» 2. Lorsque l'on posbède une intégrale de la forme indiquée dans la 

 Note précédente, 



(A) z. = R(^, 7) ^^"^o(};;i ^ eV'"^'->--V"-<-., 



on obtient, en posant dans l'équation différentielle 



z^zjz'dx, 



une équation différentielle linéaire en z' qui présente les mêmes caractères 

 que la proposée, mais dont l'ordre est moindre d'une unité. 



» On donne à la fonction intégrale (A) différentes formes, en l'exprimant 

 soit à l'aide de fonctions 0, soit à l'aide d'intégrales abéliennes de troisième 

 espèce. 



» 3. La théorie générale s'applique en particulier aux équations diffé- 

 reiitielles linéaires dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de la 

 seule variable indépendante x, 



(B) ^ + ?.(^)£^ + "- + ?«(^)2 = o, 



les coefficients fi{x) étant tels que les racines des équations fondamentales 

 déterminantes relatives aux différents points singuliers et au point ce soient 



