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 suffiraient pour trouver approximativement la situation d'un point sur le 



globe. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la transformation par directiotis réciproques. 

 Note de M. Lagcerre, présentée par M. Bonnet. 



« Dans une Note insérée dans le Bulletin de la Société mathématique (Sur ta 

 Géométrie de direction, t. VIII, p. 196), j'ai fait connaître une transforma- 

 tion nouvelle qui présente la plus grande analogie avec la transformation 

 par rayons vecteurs réciproques; je me propose d'exposer brièvement 

 comment on peut l'étendre à l'espace. 



» 1. Une surface S, étant donnée, partage l'espace en deux régions, et 

 l'on peut fixer arbitrairement celle de ces régions que l'on regarde comme 

 extérieure à la surface; je désignerai sous le nom de semi-surface une sur- 

 face ainsi définie. A un plan correspondent, par exemple, deux semi-plans 

 que l'on peut appeler opposés et que l'on doit regarder comme deux semi- 

 surfaces distinctes ; à une sphèrecorrespondent également deux semi-sphères 

 opposées. 



» Pour que deux semi-surfaces se touchent en un point, il faut non 

 seulement qu'elles aient même tangente en ce point, mais encore que les ré- 

 gions extérieures aux deux surfaces soient les mêmes dans le voisinage de 

 ce point. De là résultent immédiatement les propositions suivantes : 



» On ne peut mener à une semi-sphère qu'un semi-plan parallèle à im semi- 

 plan donné; une semi-sphère est déterminée par la condition quelle touche 

 quatre semi-plans donnés, et un semicùne de révohtion par la condition qu'il 

 touche trois semi-plans donnés. 



» Cela posé, la transformation par directions réciproques" est entière- 

 ment définie par les conditions suivantes : 



» Deux semi-plans réciproques se coupent sur^un plan fixe quej'appelle- 

 rai plan fondamental; deux couples de semi-plans réciproques forment 

 im système de quatre semi-plans tangents à un semi-cône de révolution. 



» La transformation est évidemment déterminée quand on se donne le 

 plan fondamental et deux semi-plans réciproques. 



» 2. Voici les propriétés fondamentales de cette transformation : 



» A un système de semi-plans parallèles correspond un système de 

 semi-plans parallèles; à une semi-sphère correspond une semi-sphère qui 

 peut se réduire à un point; à un semi-cône de révolution, une semi-surface 



