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 de même nature qui peut se réduire à un cylindre de révolution ou à une 

 droite. 



» On peut toujours effectuer une transformation telle que quatre semi- 

 sphères données se transforment en quatre points. 



» Si trois semi-surfaces touchent un semi-pian aux points a, b, c et si 

 les semi-surfaces réciproques touchent le semi-plan réciproque aux points «, 

 /3, y, les triangles abc et «py sont é£;anx. 



» Les lignes de courbure des semi-surfaces sont conservées dans la 

 transformation. 



» Deux cas sont particulièrement à remarquer. En premier lieii, si le 

 plan fondamental esta l'infini, la transformée est une semi-surface paral- 

 lèle à la semi-surface donnée; en second lieu, si un cône isotrope a pour 

 réciproque un cylindre droit dont l'axe est perpemliculaire au plan fonda- 

 mental, on a la transformation remarquable due à M. Bonnet ('). 



» 3. Si l'on prend une surface algébrique quelconque et si l'on fixe 

 arbitrairement la région que l'on regarde comme extérieure, la semi-sur- 

 face ainsi obtenue ne forme généralement un être géométrique que si on 

 lui adjoint la semi-surface opposée; elle doit être considérée comme une 

 semi-surface composée de deux feudlels superposés et opposés entre eux, 

 ces feuillets formant les deux nappes de l'enveloppe d'une sphère de rayon 

 infiniment petit dont le centre décrit la surface. Une quadrique, par 

 exemple, doit être regardée comme une semi-quadrique de quatrième 

 classe. Cependant quelques semi-surfaces, composées d'une seule nappe, 

 forment un être géométrique distinct : telles sont celles qui proviennent du 

 plan, de la sphère, et en général de toutes les anticaustiques des surfaces 

 algébriques. 



» 4. La transformée d'une semi-surface S est une anticauslique; abaissons, 

 en effet, de chaque point M de S une perpendiculaire MP sur le plan fon- 

 damental, et prenons sur MP un point M' tel que le rapport de M'P à MP 

 soit constant: le point 31' décrit une suifiiceS'. Cela posé, si, l'indice de ré- 

 fraction étant convenablement choisi, des rayons perpendiculaires au plan 

 fondamental se réfractent sur S', la réciproque de S est une des cata- 

 caustiques de S' ; on obtiendra du reste toutes ses calacaustiques en dépla- 

 çant le plan fondamental parallèlement à lui-même. 



« 11 résulte de là que l'on sait déterminer les lignes de courbure des aii- 



(') Note sur un genre particulier de sur/aces réciproques. [Comptes rendus, t. XLII, 

 p. 485\ 



