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qiient, chacun d'eux contiendra plusieurs trajectoires planes. Une infinité 

 de droites de la figure mobile seront ainsi assujetties à décrire des plans 

 fixes, et, par conséquent, si par un point fixe O on mène des parallèles 

 à chacune de ces droites dans une position déterminée de la figure mo- 

 bile, on formera une figure invariable dont tous les points devront dé- 

 crire des plans passant par O. L'analyse détaillée et facile de cette hy- 

 pothèse conduit à la seule solution suivante : mouvement de la figure 

 mobile parallèlement à un plan fixe. Et, en effet, dans ce mouvement 

 tous les points décrivent des courbes planes qui peuvent être de degré 

 quelconque ('). 



» Je laisse de côté quelques propositions relatives à différents mouve- 

 ments dans lesquels les points de la figure mobile décrivent des cubiques 

 gauches ou des courbes du quatrième ordre, poiw arriver aux mouvements 

 dépendant de deux paramètres dans lesquels les points de la figure mobile 

 décrivent des surfaces. 



» On sait que dans le plan il existe un mouvement dans lequel tous les 

 points décrivent des ellipses. Il n'existe pas dans l'espace de mouvement 

 dans lequel tous les points décrivent des surfaces du second degré. Ou sait 

 que, dans certaines questions de Géométrie, pour étendre à l'espace des 

 propriétés des coniques, il faut considérer non plus une surface du second 

 ordre, mais la surface de Sieiner. C'est ce qui se présente ici. // exisle un 

 mouvement d'une fi</uie invariable dans lequel tous les points de la fit^ure mobile 

 décrivent des surfaces de Steiner. Dix points particuliers de la fi'jure mobile 

 décrivent des plans. 



» Le mouvement le |)lus générai de celte nature ne donne pour les 

 surfaces trajectoires que des surfaces de Steiner ou des plans pour les 

 dix points dont il vient d'être question. Mais dans certaines hypothèses 

 particulières il peut arriver que les points d'une droite, ou même les points 

 de deux droites décrivent des ellipsoïdes. Dans ce dernier cas, si l'on fait 



(') SI, Mannlieim [Bulletin de la Société mathématique, t. I, p. io6) a déjà déinonlré 

 que, si quatre points d'une droite décrivent des courbes planes, tous les points de la droite 

 décrivent des ellipses. Au sujet de ce mouvement particulier, on peut présenter la re- 

 marque suivante : si l'on considère une surface du second degré (Q) décrite par un point 

 d'une droite [d], dont trois points déterminés sont dans les plans principaux de (Q), on 

 peut transformer liomoi;rapliiquement la surface (Q) de telle manière que les transformées 

 homographiques des diverses positions de la droite [d) deviennent les normales à la trans- 

 formée de ( Q . De là résultent de nombreuses conséquences, sur lesquelles je n'insiste pas en 

 ce moment. 



