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et où les coefficients A, ainsi que l'indice A-, sont indépendants de «, c'est- 

 à-dire conslants. 



» Evidemment, de pareilles équations différentielles linéaires appar- 

 tiennent au genre d'équations diifércDiielles dont j'ai déjà(') intégré les 

 trois premières espèces. L'espèce nouvelle qu'elles y forment, et qui con- 

 stitue, si l'on veut, la quatrième espèce de ce genre, est caractérisée par la 

 forme donnée plus haut pour la fonction F(«). 



w De ceite fornie de F(/i) et de l'équation en n qui précède résulte 

 immédiatement ce fait que Y est la somme d'une série entière, ordonnée 

 suivant les puissances ascendantes de x, et dont le terme général U„ se 

 définit par l'égalité 



rr — /-'(/> + 0l/^+ a)., .i/^-f-» — !) r, . n 



^"— I.2.3.../r~" JVn^nX y 



dans laquelle r„ est le terme général d'une série récurrente proprement 

 dite, qui admet l'équation génératrice 



AoX*4- A, a.''-' -\- AaX*-' 4-. .. + Aa = o. 



» Dès que l'on sait résoudre cette équation génératrice, on sait écrire v„ 

 sous la forme d'un polynôme entier par rapport à « et par rapport à des 

 exponentielles analogues à rt", c'est-à-dire sous la forme attribuée déjà 

 à f{n). Le produit J [n)v„ présentera la même forme. Il sera donc, lui 

 aussi, le terme général d'une série récurrente proprement dite. Par consé- 

 quent, la série dont la somme donne Y appartiendra à l'espèce des séries 

 que j'ai autrefois (^) sommées. 



» Cette sommation permettra d'exprimer Y sous forme finie, c'est-à-dire 

 d'intégrer, sous forme finie, l'équation différentielle linéaire donnée. L'in- 

 tégrale ainsi obtenue sera d'ordinaire l'intégrale générale de cette équation 

 différentielle. D'ajirès ce qu'on sait sur la sommation considérée, celte inté- 

 grale se composera uniquement de fonctions algébriques rationnelles et 

 d'expressions irrationnelles de la forme (i — ajcy, 



» Ce procédé d'intégration, que je me borne à indiquer ici, repose théo- 

 riquement sur le développement de Y en série; mais, dans la pratique, il 

 n'exige point du tout qu'on effectue ce développement. Dès que l'on a 

 constaté que F(7i) est de la forme considérée et qu'on a résolu l'équation 



(') Comptes rendus, séance du 3 février 1879. 

 {') Ibid., sé.'\ncc du 7 avril 1879. 



