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 génératrice écrite ci-dessus, on peut, d'une façon très rapide et en quelque 

 sorte mécanique, arriver à l'intégrale de l'équation différentielle linéaire 

 donnée, » 



MÉCANIQUE, — Sur la théorie des plaques vibrantes. Note de M, É. Mathieu. 



a Dans les questions relatives au mouvement de la chaleur dans un 

 corps liomogène de forme quelconque, la solution générale est 1h somme 

 d'une infinité de solutions simples formant une Sf'rie convergente, et, si 

 l'on désigne par ii, u' deux quelconques de ces solutions simples, on a 



( I ) /""' '^■^ ''{x ''/- = o ou fuu' dx dy = o, 



l'intégrale s'étendant au volume du corps, ou, si le corps se réduit à une 

 plaque plane et mince, à la surface de ce corps. Cette propriété résulte de 

 la formule de Green, si le corps est isotrope, ou de cette formule généra- 

 lisée [Journal de Liouville, 1870; Sur la généralisation du premier et du second 

 potentiel) s'il s'agit d'un corps cristallisé. 



» La solution générale du mouvement vibratoire des membranes se 

 compose également d'une série de termes dont deux quelconques satisfont 

 à la seconde équation (i). Enfin on a une propriété semblable pour la 

 solution du problème de la lame vibrante, supposée ou appuyée, ou encas- 

 trée, ou libie à l'une ou l'autre de ses extrémités. 



» Cette propriété remarquable, appartenant aux solutions siuiples, tient 

 essentiellement aux conditions aux lunites auxquelles satisfont ces fonc- 

 tions. 



» M'appuyant sur la simplicité des résultats de l'expérience relatifs aux 

 mouvements vibratoires des plaques, j'en avais conclu que les conditions 

 aux limites, dans les plaques à bords libres, doivent être telles que deux 

 termes quelconques de la solution satisfassent à la seconde équation (i) 

 [Journal de Liouville, i86g; Sur te mouvement vibratoire des plaques). Cette 

 remarque m'avait paru une objection à l'admission des équations données 

 par M. Kirclihoff pour les deux conditions au contour des plaques libres, 

 car je les croyais incompatibles avec la formule (i). Ayant repris depuis 

 peu la question des plaques vibrantes, j'ai obteiui la conviction que les 

 deux conditions au contour, données par M. Kirchboff, sont les véri- 

 tables. J'ai donc essayé de nouveau de démontrer que, d'après ces condi- 

 tions, deux solutions simples de ce problème satisfont à l'équation (1), et 



