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j'y suis en effet parvenu. 11 en résulte que ce qui me paraissait une objec- 

 tion aux formules de M. Kirchhoff vient au contraire en confirmalion de 

 ces formules. 



» Je vais indiquer les principes de ma démonstration. Soit une fonction 

 Il satisfaisant, dans l'intériein- du contour ,y, à l'équation 



A Au:=l*ii, 



et, sur ce contour, aux deux équations 



/ iP u d'il \ / d'it 



O = I -r-j- 4- -; — — 1 COSf* + ( -T-r^. + -j-i; 1 smi' 



i-f-e 



(d'il d'il \ I d'il d'u\ 



dF-^d:^-)''^''+[d^y-^d:?) 



d \ Id-a dhi\ . d^u j -1 



d^u\ 



d^l 



26 ds\ 



d'il „ d'il . d^u . , e l<Pu 



d.c- dx dr dy^ i -+- \d.r- 



[voir Kirchhoff, Journal de Crelle, t. 40, et sa XXX' Leçon sur la Physique 

 nialhémalicjue), v étant l'angle avec l'axe des x de la normale menée à l'in- 

 térieur du contour. Soit u' une fonction satisfaisant aux mêmes équations, 

 dans lesquelles u est remplacé par u' et / par /'. On a la formule 



que j'ai démontrée {Journal de Liouville, iS6ç): Sur l'équation A Am=o, etc.). 

 Voici maintenant les principales formules de ma démonslr.itioii. En suppo- 

 sant que l'iHément normal dn à la courbe .î est recliligne, on a 



du 



(d' u d- u\ . d'u , , ■ , - ds 



-TT TT Sint' COSt» ;— r-{COS't' — SIH " t»! = -;— » 



du du 



dn ds du dv 



ds du ds ds 



d — 

 il- u . , d-u d'il . „ ds du dv 



-r-rbUVV — 2- SUT t» COSP+ -—^<.uVV= — -T T ' 



djc^ dx dy dy- ds dn ds 



» D'après cela, les deux équations au contour deviennent 



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