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A désignant la constante -^7^- Remplaçons dans l'équation (2) les quan- 

 tités des premiers membres des deux équations (3) et de celles que l'on 

 obtient en y changeant u en n! par celles des seconds membres. Par des 

 intégrations par parties, on pourra démontrer que le second membre de 

 l'équation (2) est nul et l'on en conclura le-tliéorème à démontrer. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les combinaisons complètes; nombre des 

 combinaisons complètes de ni lettres n à n. Note de M. A.-G. RIelon. 



« Appelons a, h, c, d, . . ., k, l les m lettres données. Prenons pour auxi- 

 liaires un certain nombre de lettres grecques a, ]3, 7, . , , auxquelles nous 

 attribuerons successivement des valeurs convenables et arbitraires. On 

 combinera n à n, à la manière ordinaire, l'ensemble de toutes les lettres 

 françaises et grecques réunies, et l'on ne considérera que les groupes où 

 il entrera au moins une lettre française. On voit par là qu'il suffit que le 

 nombre des lettres grecques considérées soit égal à (n— i). En combinant 

 ces [ni + « — i) lettres n à «, à la manière ordinaire, on obtient les expres- 

 sions Im,c(n-i, lni^c(„_„, . . ., Im„_,«,, lm„. Dans lm,a„^,, chaque 

 terme cpntient une lettre française et [n — i) grecques; dans lm2a„_2) 

 deux lettres françaises et (/î — 2) grecques, etc. ; dans 2;«„_|«,, {n — 1) 

 lettres françaises et une grecque. lm„ contient seulement des lettres 

 françaises et exprime l'ensemble des combinaisons ordinaires « à n des 

 m lettres françaises données. 



M Par des valeurs convenables données aux lettres grecques, nous allons 

 successivement obtenir les combinaisons complètes cherchées où il n'entre 

 d'abord qu'une lettre, puis deux, puis trois, etc. Dans 27«,!Z„_,, rendons 

 toutes les lettres grecques égales à la lettre française; nous obtenons la", 

 qui renferme m termes. Dans 2»Î2a„_2, rendons égales à la première lettre 

 française successivement {n— 2), {71 — 3), (n — 4), ■ . -, o des lettres 

 grecques, tandis que nous égalerons à la deuxième lettre française restante 

 chacune des lettres grecques restantes. Nous obtenons la"~' b, la"~'b-, ..., 

 lab"~*. Le nombre des termes, pour chaque groupe de deux lettres fran- 

 çaises, est égal au nombre des combinaisons ordinaires (re — 2) à [u — 2) 

 des (« — i) lettres grecques; ce nombre est donc (« — i). Or le nombre 

 des groupes où deux lettres françaises se joignent aux groupes de (« — 2) 

 lettres grecques égale le nombre des combinaisons ordinaires de m lettres 



1:. 1'.., iiJ8i, 1" Semestre (T. XCll, ^^■ 5). ^7 



