( >26 ) 



deux à deux, c'est-à-dire "'^'" ~'K Le nombre total des combinaisons com- 



1.2 



plètes où il n'entre que deux lettres sera donc "'-'"- — - {n — i). On obtient 



ainsi toutes les combinaisons complètes renfermant deux lettres; car de 

 {a"-' b) à [ah"-^), il y a [n — i) groupes et pas d'autres, et, comme ces 

 groupes se répètent en niètue nombre pour chaque combinaison de m 



lettres deux a deux, nous aurons bien pour le nombre total ■— — - — [n — \), 



et n'en aurons pas d'antres. 



» Nous obtiendrons d'une manière analogue toutes les combinaisons 

 complètes où entrent trois lettres. Si dans lui^a,,^^ nous prenons un terme 

 [abc,an-i), "" yoïi, comme plus haut, que le nombre des combinaisons 

 complètes que fournit ce terme égale le nombre des combinaisons ordi- 

 naires des [n — i) lettres grecques [n — 3) à {n — 3). Ce nombre est 

 ( « — I ) ( « — 2 1 „ . , . m(m — \]{m ~ l] i , ■ i ■ . 



^ î Comme il se trouve — ^r groupes de trois lettres 



1.2 1.2.3 D J 



françaises (tels quertZ'c), on aura, pour le nombre des combinaisons com- 

 plètes où entrent trois lettres, l'expression 



m [m — I ) ( "' — 2) ( « — I ) ( « — 2 ) 

 1.2.3 1.2 



l'areillement, le nombre des combinaisons complètes qui contiennent 



, , , , in\ III — 1 1 f /H — 2 1 ( m — 3 ) ( n — 1 1 ( « — 2 1 f « — 3 ) 



quatre lettres est esal a — 5—,-^ .. , et<-. 



^ ^ 1.2.3.4 1.2.J 



Pour avoir le nombre des combinaisons complètes de m lettres n à n, on a 

 donc à faire la somme 



m [m — 1 1 , , m [m — i ) ( /« — 2 ) ( « — i ) { n — 2 ) 



m H [n — ï)-\ 



1.2 ^ ' 1.2.3 1.2 



m [m — 1 1 . . . ( m — « -i- 2 1 n — i m(m — i). . .[m ■ — n -\- \) 



l .2. . .[Il — I ] I I . 2 ... « 



Considérons les deux développements 



\ , ™ „. ,n 1 m (m — i] _ o III (m — i)(m — 2 1 



' ^ ' I . 1>. 12.3 



■) a 



"~ ' I n — t I [n — I ! ( « 



» Multiplions membre à membre; nous aurons (or + ij'" (- + i ] = un 

 ensemble de termes de divers degrés -f- une somme de termes de degré 



