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 dans l'équation (2); on trouvera ainsi 



,, = , 



OÙ 



(8) \J=uuXu--ri)"^''-' {n' ~ n'Y'^P'-' {u-hu/'' {u' -hn'Y'-' {n+fi-^2p){ii' -hn' -i-2p'). 



» La formule (7) est celle que nous voulions obtenir. Quand on aura 

 développé le polynôme (8), suivant les puissances entières et positives de u 

 et u', on devra y remplacer n' u"' par son expression (5). Nous avons 

 donc ainsi l'expression générale et exi)licite de A„ ,/ suivant les puissances 

 de e et e'; les coefficients de ces puissances s'expriment, comme on voit, 

 à l'aide des dérivées partielles des divers ordres de la fonction J[a,a'), 

 dérivées prises relativement à « et a'. 



» Faisons une application de ce qui précède au développement de la 

 fonction perturbatrice. 



» En désignant par A la dislance mutuelle des deux planètes, on a 



I 



^ \/r- -h r''- — 1 rr cosV 



V désignant l'angle compris entre les rayons r et /•'; on a, comme on sait, 

 (9) ^ = -Q«') + Q'"cosV-t-Q'='cos2V + ... + Q(*)cos/tV+..., 



où les quantités Q sont des fonctions homogènes de r et r' du degré — i , 



On voit que, pour développer - en une série périodique, il faut trouver 



les développements : i-'de Q'^'iQ'", . . .,Q'*', . . .; 2° de cosV, cosaV, . . ., 



cos^V, 



» Nous ne nous occuperons présentement que des développements des 

 fonctions Q, les seules qui contiennent a et a'; ces développements seront 

 connus d'une manière tout à fait générale et explicite par les formules (7) 

 et (8). En désignant par B'** ce que devient Q'*', quand on y remplace r 



par a et r' par a', on devra remplacer, dans (8), u'it'' par n'a'" .,.,./ • 



» Quand on arrivera au calcul numérique, il conviendra de poser 



B'*'=A'4"W-^'.>(a)=-^//*) (a<i) 



