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» JMctintenant, on donnera sur-!e-clianip aux conclusions de INI. Hani- 

 biiiger la forme plus simple dont il est question, en remarquant que les 

 nombres qu'il a désigm's par v, v', v", ... sont les nombres des puissances 

 à exposants positifs dont se composent respectivement les suites (4), (5), 

 (6),.... 



» En effet, d'après cette remarque, et puisque l'exposant e'''"'' ne se 

 réduit à zéro qu'après en avoir retranché e'''~" fois l'unité, on verra qu'il est 



= v^"-"-', 



et que, par conséquent, à cet exposant correspond un sous-groupe (p. 121) 

 d'intégrales composé de g'"'"'' éléments. 



M Pareillement, l'exposant e'^~-' ne se réduisant à zéro qu'après en avoir 

 retranché e'''~-' fois l'unité, on verra qu'd est 



et qu'à cet exposant il correspond un sous-groupe composé de e''~-' élé- 

 menls. 



» En continuant de la sorte, on obtient la conclusion totale sous la 

 forme désirée, c'est-à-dire qu'il y a autant de sous-groupes que de puis- 

 sances dans la suite (/|), et que chaque sous-groupe contient un nombre 

 d'éléments égal à l'exposant de la puissance qui lui correspond ('). » 



ANALYSK MATHÉMATIQUE. — Sur la séparation des racines des équations dont 

 le premier membre est décomposable en facteurs réels et satisfait à une équa- 

 tion linéaire du second ordre. Note de M. Laguerke, présentée par 

 ]M. Hermite. 



« 1. Les méthodes connues pour effectuer la séparation des racines 

 d'une équation sont, même dans le cas où elle a toutes ses racines réelles, 

 à peu près impraticables lorsque son degré est un peu élevé. 



» Le problème peut être posé de la façon suivante : Étant donnée une 

 quantité arbitraire ^, trouver un nombre a tel (pie l'intervalle compris entre S, et 

 a renferme au plus une racine de réquation. On en obtient une solution 



qui désigne juir v le nombre des équations (3), p. 114, qu'il est possible de déduire des 

 autres « — v. 



( ' ) Il va sans dire que plusieurs exijosants peuvent être égaux entre eu\ et qu'alors les 

 sous-groiij)cs eorreipondants conticndr.iient le méiiie nombre d'élénienls. 



