( '79 ) 

 facile dans le cas où, l'équalioii ayant toutes srs racines réelles, le [ir.-- 

 iiiier membre satisfait à une équation linéaire iln second ordre. 

 » Considérons, en effet, une telle équation 



(l) J[x';=o,^ 



dont le |)remier membre <st nu jîolynôme 'iu degié /i satisfaisant à l'équa- 

 tion dilTérentielle 



,. d'y ,^ dr ,, 

 dx- dx -^ 



et |)OS( IIS 



F(x, S) = i2(/i — i)l'"- -I- i2(x — Sjl'Q 



+ (.r - 5)= + [{n + i)Q^ - 4(« - 2)(FR + FQ' - Ql")]. 



» l'oiu' une valeur donnée de S, le polynôme F acquit ri une valein- né- 

 gative quand on remplace x par la valeur d'une quelconque des racines <le 

 l'équation (i), sauf les deux raciues qui avoisinent^. Pour ces deux racin(>s, 

 le polynôme peut avoir une valetu- posiiive; il est d'ailleurs toujours po- 

 sitif pour a; = S, si l'on su[)pose que ^ n'annule pas V. Je ferai remarquer 

 aussi que F est tonjoiu's négatif si l'on remplace | et j; par les valeurs de 

 tleux racines quelconques de l'équation (ij. 



» D'où la proposition suivante : 



» Si l'on donne à ^ une valeur arbitraire n'anntdant pas P, l'équation 

 F [x, ^) = o a toujours au moins t\c\\yi racines réelles ; en désignant par x' 

 et x" celles de ses racines qui avoisinent S, on peut affirmer que chacun 

 des intervalles compris ( nire les nombres x' et ^, ^ et x" renferme au plus 

 une racine de l'équation. La simple substitution des nombres x\ ^ et a" 

 fera donc connaître exactement le nombre des racines comprises dans ces 

 intervalles. 



» La métliode précédente exige la résolution au moins approchée d'une 

 équation qui, généralement, est d'un degré supériein- au second; mais il 

 est toujours possible d'éviter celte résolution en se donnant la (juantité .r 

 (que l'on peut, sauf certaines restrictions indiquées dans chaque cas par- 

 ticulier par la discussion du polynôme F, choisir arbitrairement) et en 

 résolvant l'équation F = o par rapport à la quantité S, qid n'y entre qu'au 

 second degré. 



» 2. Comme exemple, je considérerai le polynôme U,,, étudié par 

 M. Hennite, et qui satisfait à l'équation 



d^ y dy 



a.r- (l.r ' 



