( 228 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la série de Foiirier. 

 Note de M. Camille Jokdax. 



K La démonstration classique de la série de Fonrier, telle que l'a donnée 

 Dirichlef, repose sur les deux propositions suivantes: 



» \° L expression \\m j r(,rj est égale a zéro, si a et b sont comp}-is 



entre o et n. 



» 2° Elle est éc/ale à F (-4- o), si rt = o, b'^o<^n. 



» Dirichlet admet pour sa démonstration que, dans l'intervalle de l'inté- 

 gration, F{œ) ne présente qu'un nombre limité de discontinuités et un 

 nombre limité de maxima et de minima ; mais il fait remarquer que ces 

 conditions sont suffisantes, mais non nécessaires. 



)) On voit aisément, en effet, que la première proposition subsiste, à 

 la seule condition que F(.r) soit intégrable de a a i (' ). 



» Quant à la seconde proposition, sh démonstration suppose simplement 

 qu'il existe, aux environs dii point x = o, un intervalle fini (de o à s) dans 

 lequel F{x) soit constamment non croissante ou non décroissante. 



» Le théorème subsistera donc toutes les fois que l'[jc) pourra être 

 représenté de o à £ \)ar J [ce) — cp[x),J{x) et ^(x) étant deux fonctions 

 finies et non décroissantes. 



» Discutons cette condition. 



» Soient x,, ..., ûc„ une série de valeurs de a; comprises entre o et s, 

 y,, ...,j>'„ les valeurs correspondantes dej[jc). Les points jc,,r,; ...; 

 ^ii/ii formeront un polygone. 



» Considérons les différences 



J'2 7i' J3 y^i •■•' .' " )i:-f 



» Nous appellerons oscillation positive du polygone la somme des termes 

 positifs de cette suite ; oscillation négative, celle des termes négatifs ; oscillation 

 totale, la somme de ces deux oscdlations partielles, prises positivement. 



» Faisons varier le polygone; deux cas pourront se présenter : 



» 1° Le polygone pourra être choisi de telle sorte que ses oscillations 

 siu'passent toute limite. 



» 2" De quelque manière que le polygone soit choisi, ses oscillations 



( ' ) Nous ilevons celle remarque à M. Darboiix. 



