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positive et négative ne pourront surpasser certaines limites fixes P^ et N^. 

 On dira, dans ce cas, que F[x) est une fonction à oscillation limitée dans l'in- 

 tervalle de o à b; P^ sera son oscillation jio^ilive;'^^ son oscillation négative ; 

 Pe + Ne son oscillation totale. 



» Ce cas se présentera nécessairement siF(,x) est la différence de deux 

 fondions finiesy(j:) — <p(x); car il est clair que l'oscillation positive du 

 polygone sera =;/(£) —/(o), et son oscillation négative ^^(e) — y(o). 



» La réciproque est facile à établir. En effet, on s'assure aisément: 



» 1° Que l'oscillation d'une fonction Y[x) de o à e est égale à la somme 

 de ses oscillations de o à a; et de x à s, x étant une quantité quelconque 

 comprise de o as; 



» 2" Que l'on a Y{x) — F(o) 4-P^ — N^-, P^ et N^ désignant les oscilla- 

 tions positive et négative de o à jt. 



» Or F(o)-}-Pj. et N^. sont des fonctions finies et non décroissantes de 

 o à £. 



» La démonstration de Dirichlet est donc applicable, sans modification, 

 à toute fonction dont l'oscillation est limitée de x = o k x — t, i étant 

 une quantité finie quelconque ('). 



» Les fonctions à oscillation limitée forment une classe bien définie, dont 

 l'étude pourrait présenter quelque intérêt. Nous indiquerons à cet égard 

 les propositions suivantes : 



» 1° Toute fonction entière de fonctions à oscillation limitée est une fonc- 

 tion de même nature. 



» 2° Le quotient de deux semblables fonctions est encore une fonction 

 de même e.spèce, dans tout intervarie où le dénominateiu' ne s'annule pas. 



» 3° Toute fonction F(x) à oscillation limitée est intégrable, car toute 

 fonction finie et non décroissante l'est évidemment. 



» 4° Toute fonction F(x) qui a une dérivée finie ai x =z ak x =: b esik 

 oscillation limitée dans le même intervalle. Soient en effet V [x] celte dé- 

 rivée, M son maximum; on aura 



F(x)=F(rt) + M(x-rt)- r [m-r[x)]ilx, 



^ a 



différence de deux fonctions finies et non décroissantes de a k b. 



(') M. Lipschitz a indiqué (/oi/r/îrt/ f/e C/e//e, t. 63) un aulre critérium, différent du 

 précédent, et qui suffit également pour que la séiie de Fourier soit applicable. 



Il est fort probable qu'ici, comme dans la question de la convergence des séries, il est im- 

 possible d'établir un crilcrium qui soit à la fois ncccssaiic et suffisant. 



