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 » Il est aisé de construire une fonction à oscillation limitée, ayant, dans 

 tout intervalle, une infinité de discontinuités. Soit, en effet, tj^l'"? '0 ""^ 

 fonction constamment positive et telle que la somme 



étendue à toutes les valeurs entières de m et de n, soil finie. On peut 

 poser F(.r) == 24'(w, 72), la somme s'étendant à tous les systèmes de va- 

 leurs premières entre elles de met de n, tels que — ne surpasse pas x. Cette 



fonction sera constamment non décroissante et aura pour oscillation S. 

 Elle sera d'ailleurs discontinue pour toutes les valeurs rationnelles de la 

 variable x. 



» Remarque 1. — Dirichlet dit dans sou Mémoire [Journal de Crelle, t. 4, 

 p. 169) qu'une fonction qui présente un nombre infini de discontinuités 

 n'est intégrable que si, dans un intervalle quelconque ah, on peut placer 

 deux quantités r,s assez rapprochées pour que la fonction reste continue 

 de /' à s. On voit, par l'exemple qui précède, que cette assertion n'est pas 

 exacte. Cette inadvertance d'un géomètre si justement considéré comme un 

 modèle de précision nous paraît mériter d'être signalée. 



» Remarque IL— Abel a démontré que, si la série a^ + a^-k- ■ ■ + o„'\- .-. 

 est convergente, il en sera de même de la série 



a,rt, + «2^; + . . . + a„rt„-r- . . . , 



si a, , «21 • • • 1 «n sont des quantités positives non croissantes, 



» Cette condition est trop restreinte. On peut établir la convergence en 

 faisant usage du même raisonnement, à la seule condition que la somme 



mod («2 — «1) -i- . • ■ -T- niod («„— «„_,) -!-... 



(qu'on peut appeler V oscillation de la série a,, «o, . . . , a„, . . .) soit finie. 

 » Les quantités rt et « peuvent d'ailleurs être imaginaires, » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une extension de la règle des signes 

 de Descartes. Note de M. Laguerre, présentée par M, Hermite. 



« 1. Soit F[x) un polynôme entier ou une série indéfinie ordonnée 

 suivant les puissances croissantes de x, ¥[x) étant d'ailleiu'S assujetti à la 

 seule condition que ses coefficients soient tous positifs. 



