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 M Consiilérons l'équation 



(i) AF(aA') + BF(/3^) + CF(7a;) + ... = o, 



où les coefficients «, /3, 7, ... sont positifs et rangés par ordre décroissant 

 (le grandeur. Cela posé, le nombre des racines positives de l'équation (i) 

 (je veux dire par là le nombre des valeurs positives pour lesquelles le pre- 

 mier membre de celte équation est convergent et a pour limite zéro) est 

 au plus égal au nombre des variations que présente la suite 



A, B, C, .... 



On peut dire encore qu'il est au plus égal au nombre des variations que 



présente la suite 



A, A-+-B, A + B + C, ..., 



et que, si ces deux nombres diflèrenf, leur différence est un nombre pair. 



» 2. Il ne sera peut-être pas iiuitile de montrer comment la règle pré- 

 cédente renferme, comme cas particulier, la règle de Descartes ou plutôt 

 une proposition i)lus générale que j'ai donnée antérieurement. 



» Soit 



(2) A.x»+BxP+C.rY4-,.. = o 



une équation où a, |3, 7, ... sont rangés j>ar ordre décroissant de grandeur; 

 on peut toujours, évidemment, les supposer positifs. 



» En désignant para un nombre positif quelconque, posons 



jc — ae'^i 

 nous obtiendrons la transformée 



(3) Art«e«-^ + BaPeP^-(-CaVe^*H-.. . =0. 



Il est clair que le nombre des racines positives de l'équation (3) est pré- 

 cisément égal au nombre des racines de l'équation (2) qui sont supérieures 

 a a; les nombres a, /3, 7, ... sont d'ailleurs positifs, et le développement 

 de e', qui est convergent pour toute valeur de la variable, a tous ses termes 

 positifs. 



» Il résulte donc de la proposition précédente que le nombre des racines 

 de l'équation (2), qui sont supérieures à a, est au plus égal au nombre des 

 variations de la suite 



