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Cette équation ne peut avoir de racine négative. En substituant + i clans 

 la transformée en -> on voit immédiatement qu'elle n'a pas de racine infé- 

 rieure à -f- r . En substituant + i dans le premier membre de l'équation, 

 on obtient la suite 



+ 1, -I, +2, — r, 



qui présente trois variations; l'équation peut donc avoir une ou trois 

 racines positives. 



» Mais, si l'on forme la suite auxiliaire 



+ 1, — 3, +5, + 1 1, 



on voit qu'il n'y a qu'une seule variation de la première suite à laquelle 

 corresponde une permanence dans la seconde. 



» L'équation proposée a donc une seule racine réelle qui est supérieure 

 à l'unité. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur un système cyclique particulier. Note de M. Ribaucour. 



« Dans une Note déjà ancienne ('), j'énonçais les propositions sui- 

 vantes : 



)) 1° Si les lignes de courbure se correspondent stw les deux nappes d'une 

 enveloppe de sphères, pour qu'il en soit de même sur les nappes enveloppes des 

 sphères concentriques aux précédentes et dont les r'aj^ons sont proportionnels aux 

 leurs, il faut que chacune des sphères de l'une ou l'autre Jamiile coupe, sous un 

 angle constant, un plan donné. 



» On peut généraliser, en exigeant seulement que les rayons des sphères 

 de la première famille soient fonctions des rayons, des sphères de la seconde 

 famille ; la conclusion ne varie pas. 



» 2° Les développables principales suivant lesquelles on peut ranger les nor- 

 maies aux deux nappes d'une enveloppe de sphères dont les lignes de courbure 

 se correspondent coupent la surface des centres suivant un réseau conjugué 

 (théorème de Ch. Dupin). 



» 3° Si les développables lieux des normales à une swjace découpent un 

 réseau conjugué sur une quadrique, elles/ découpent un second réseau conjugué; 

 elles tracent deux réseaux conjugués sur chacune des quadricjues homofocales à 



(') Notice sur les travaux mathématiques de M. Ribaucour, '873, p. 12. 



G. R., 1881, 1" Semestre. (T. XCU, N'o.) 3l 



