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 la preinière. Chacune des développables est elle-même circoiiscrile ù l'une de ces 

 quadriqiies. 



» 4° Si des cercles sont iwrinaux à trois surfaces, ils sont normaux à une 

 infinilé de surfaces faisant partie d'un système triple orthogonal [système cy- 

 clique) ('). 



» Les trois premières propositions donnent immédiatement l'intégrale 

 des lignes de courbure d'une surface anticaustique par réfraction d'une 

 quadrique, les rayons incidents étant parallèles entre eux. 



» La quatrième proposition (en supposant que les cercles soient nor- 

 maux à un plan ou à une sphère) conduit à un mode de correspondance 

 des surfaces avec conservation des lignes de courbure; elle fournit les 

 transformées que M. Laguerre vient d'obtenir par un mode de corres- 

 pondance dont les propriétés métriques sont particulièrement remar- 

 quables (-). 



)i Considérons des sphères ayant leurs centres sur une surface (S) et 

 coupant sous un angle constant un plan donné (P); chaque sphère enve- 

 loppée est normale (en ses deux points de contact avec l'enveloppe) à un 

 cercle ayant son centre dans le plan (P). 



» Tous les cercles seudilables sont normaux aux deux nappes de l'en- 

 veloppe et deux fois au plan; ils donnent donc lieu à un système cyclique. 



» Cela suffirait pour établir la réciproque de la première proposition. 



» D'un autre côté, si du centre de la sphère enveloppée on abaisse une 

 perpendiculaire au plan (P), elle rencontre le cercle en deux points symé- 

 triques qui engendrent des surfaces normales au cercle : leur distance au 

 plan étant en effet proportionnelle à celle du centre de la sphère au même 

 plan, les plans tangents a la surface (S) et à l'une quelconque de ces nou- 

 velles surfaces se coupent suivant l'axe du cercle dans le plan (P). 



» On peut donc énoncer la proposition suivante : 



» Les cercles normaux aux deux nappes de l'enveloppe de sphères ayant 

 leuis centres sur une surface (S) et coupant sous un angle constant le plan (P) 

 sont normaux à une surjace obtenue en réduisant, dans un rapport constant, les 

 distances des points de la surjace (S) au plan (P). Ils déterminent un système 

 cyclique. 



» Il est clair que ce système est le plus général de ceux qui admettent 

 un plan parmi les trajectoires des cercles. » 



(') Notice sur les tiavauj: mathématiques de M. Ribaucour, 1873, p. 18. 

 (^) Comptes rendus, séance du 10 janvier 1881. 



