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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la quadiriture dont dépend la solution d'une 

 classe étendue d'équations dijférentielles linéaires à coefficients rationnels. 

 Note de INI. Gor.vx Diliaeu, présentée par M. Hermite. 



« La quadrature générale des termes irrationnels de la formule (9) de 

 ma Note, insérée dans les Comptes rendus du 2 novembre 1880, se réduit, 

 pour j, un nombre entier positif ou zéro, à une somme de quadratures de 

 cette forme, 



(.) J_tl£l^ 



a)'-'P(.r)« 



où a est une constante, 4'(-^') "iic fonction entière et rationnelle, et P(x) 

 un produit algébrique rationnel de la forme 



(2) V{œ)^[x-b:i^K..{x -h,^,n, 



p,, . . ., ^j,n étant des nombres entiers positifs qui ne contiennent pas tous 

 les facteurs du nombre entier positif /j. 



» Étudions le cas .y = I. 



» Posons, à cet effet, une fonction entière et rationnelle de degré 7, à 

 coefficients constants §■„, . .., g-,, et à racines simples c,, . . ., c.,, 



(3) Q{x) = g^ + g,x-\-...-^g,x' = g\[oc-c,)...{x-c,), 



et soit 



Y{x) = {x — a)'^[3c); 



alors on aura l'identité connue, x élant remplacé par jr^, 



{x,— a],!/[.v,] ^,r,_a)?(«) F'(c,)(x,— c,) l.-(c,H.r,.-r,) 



où le degré de 9(^,) n'est pas inférieur à celui de <j>(j^r)- 



» En multipliant celte identité par le produit d'un nombre entier posi- 

 tif Mr et de la différentielle dx^., et en ajoutant les résultats pour 

 r=i, 2, ...,p., on aura, en posant le produit 



(4) \i{x) = {x-x,Y'.,.{x~xX^, 



