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 on tire de la formule (g), pour 



£, = 6" {r=i,2,.. .,n), 



le résultat d'intégration suivant, " 



(.2) |\l r''_iIf:ll^=const.4-lHf^.Iog(:.--a,.), 



/•=i '■•- {x,.— a)P[x,.]"- P{a)"r=i 



OÙ l'on éliminera la constante d'intégration, en faisant 



^r^Hr (''=1,2, . . ., p.). 



» A cause des racines égales de l'équation (6), les équations suivantes, 

 au nombre de (M, 4-. . .-I-Mj^), doivent être satisfaites, 



(i3) j ni.x)=:o, I —^=o, ..., j ^^^„,_\ =o (r 



1,2, 



.•,p-). 



et, puisque le nombre des paramètres variables g^„ ..., g,, est nécessaire- 

 ment moindre que celui de ces équations, sauf le cas de m = /;, = tz ^ 2 et 

 M, = M2= i, où ces nombres pourront être égaux, on obtiendra, par l'éli- 

 mination de ces paramètres, des résultats auxquels doivent satisfaire les 

 limites d'intégration de la formule (12), limites qui, par là même, ne seront 

 pas, en général, indépendantes l'une de l'autre. Ces résultats d'élimination 

 contiennent le théorème de multiplicntion sous la forme la plus générale. 



» Le cas de 5 = 0, dans la formule (i), s'obtiendra en multipliant (12) 

 par a et en faisant ensuite grandir cette quantité indéfiniment (les inté- 

 grales de la première et de la seconde espèce). 



» Le cas de s'^i est plus compliqué; je l'ai traité dans un Mémoire sur 

 les intégrales définips qui paraîtra dans les Actes de l'Académie royale des 

 Sciences de StocUiolm. 



D j\Iaintenant il y a deux voies à suivre pour évaluer la quadrature en 

 question : 1° la voie de l'inversion, envisagée par AL Herniite dans sa 

 célèbre solution de l'équation de Lamé; 2'^ la voie directe, qui sera traitée 

 dans une piocbainc Note. » 



