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 éléments d'une colonne ^'^i,„ «',+,,«, • • • , a',,,, quelconque de A', et , les mul. 

 tipliant par les éléments de la colonne h'"'"" de la matrice 



(m) 



o. 



«;M 



a 



a,. 



Cl 



n,« 



''l,v+l 



a.. 



fl 





= E.. 



Cette somme est toujours divisible par (w, — w)'~'''~'', car, pour A<v, elle 

 donne évidemment, si on la multiplie par (co, — oj )"'"', le déterminant qui 

 dérive de A en supprimant la ligue /i'""" et la colonne a''^'"^, déterminant qui 

 est divisible par (m, — œ)'', et, pour h. > v, elle est égale à zéro ou à A', 

 selon que h est divers ou égal à a. 



» Maintenant, rappelons que, parmi les déterminants partiels de A de 

 degré n — v, il doit y en avoir un au moins qui ne s'annule pas pour 

 0) = u,. Mais tous ceux que l'on formerait sans supprimer les v premières 

 lignes seraient divisibles par w, — w. Donc un déterminant non divisible 

 doit se trouver parmi ceux de la matrice (i i). Soif, pour fixer les idées, 



A': 



a. 



un tel déterminant, où l'on doit imaginer, comme dans (12), «',, — co au lieu 

 de a'^, lorsque v = 5. 



» Prenant pour colonne A'™" successivement toutes les colonnes de A', 

 on formerait n — y équations de l'espèce (12). desquelles on pourrait tirer 



les déterminants 



d a' ù a' ù y 



da.. 





da'„ 



exprimés par E,, E,, ..., E„_v avec le dénominateur A', qui ne contient 

 pas u, — w.On voit par là que ces déterminants, ou, ce qui revient au même, 

 tous les déterminants partiels de A' de degré ii — v — i, sont divisibles par 

 (w, — o))'"'''' ", et, puisque l'on reconnaît sur-le-cliamp que ces détermi- 

 nants ne pourraient tous contenir u, — co plus de Z'~ (v — 1) fois, car tous 

 les déterminants partiels de A de degré n — i contiendraient cj, -- w plus 



