( -A^ ) 



au moins d'enlre les v premières lignes de A, contiennenl w, — &) au moins 

 V — |(2 fois. Donc, si I., M, . . . , N contenaienl <oi(s co, — w plus de Z'P' — (y-p) 

 fois, la somme LL, -f-MM, -t- . . . -h NN, contiendrait w, — w plus de /'?' fois, 

 ce qui contredit l'hypothèse que la plus haute puissance de t», — c) con- 

 tenue dans tous les déterminants P a pour exposant PK » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'iiivaiidnl du dix-ludlième ordre des Jorines 

 binaires du cinquième degré. Note de M. C. Le Paige. (Extrait d'une Lettre 

 à M. Hermite.) 



« L'invariant I étant le résultant de la forme donnée et ducovariant du 

 troisième ordre que M. Sylvester a appelé le canonisant^ on a, en repré- 

 sentant la forme par flx' -h by^ -4- cz\ et le covariant par abcxjz, 



l = a'b''c'{l>-c){c-a){a-b); 

 de plus, 



X +JK H- :■ =: o. 



Par suitCj si I = o, il vient, par exemple, 



b = c. 

 » Dans ce cas, la quintique peut s'écrire 



ftx^-h b{j^ -h z^) 

 ou, en se servant de la relation a- -\-j'-+- z = o, 



j:'[rta''' 4- b[5y'' -h io_j'x -H io>'-x" -+- Hjx^ -+- ^■'')]. 

 Si l'on forme le covariant du sixième ordre de la quartique, 



(rt + b).v'' ■+■ 3bji-^y -t- ïohj-x'^ -+- loh.xy^ -h 5/>;'', 



on peut remarquer que le coefficient du dernier terme s'annule. 



» Par suite, une des racines de la quintique est en même temps une 

 des racines du covariant du sixième ordre. 



» Mais on sait que les racines de ce covariant représentent les points 

 doubles des trois involulions quadratiques que l'on peut former à l'aide 

 des quatre autres points qui sont représentés par les racines de la 

 quartique. 



» En conséquence, si l'invariant I = o, une des racines de la quintique 



c. R., 1881, 1 ' Semestre. (T. XCII, N" a.) ' ^2 



