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el de (U ), et coupant (S) sous un angle y, déterminé par l'équation 

 ,.\ co sy — cosyi _^^ 



I — COSijJ COStp, 



Alors les nouvelles sphères (Ui) enveloppent une surface (s,) qui correspond point par point 

 à (2) avec conservation des lignes de courbure. Si l'on assujettit les sphères (U) tangentes 

 à (2) à couper (S) sous un angle constant, tp sera constant; il en sera de même de çi, en 

 vertu de l'équation précédente, et l'on retrouve le théorème donné plus haut. » 



» Ce qui caiactérise celte nouvelle proposition, c'est qu'elle n'impose 

 aucune autre condition aux sphères (U) que celle d'être tangentes à la 

 surface (2). La surface transformée ne dépend que de (2), de (S) et de la 

 constante h. On rencontre un fait analogue dans la théorie des surfaces 

 parallèles, et, si l'on considère toutes les sphères tangentes à une surface (2), 

 on en déduit, en conservant leurs centres et en augmentant leurs rayons 

 d'une même quantité, toutes les sphères tangentes à une des surfaces pa- 

 rallèles à (2). La transformation de sphères définie dans notre deuxième 

 proposition est moins simple que la précédente; mais elle offre l'avantage 

 d'être plus générale, puisqu'elle dépend de la ( onstanle h et des quatre pa- 

 ramètres qui déterminent la position de (S). 



» Supposons, en particulier, que la sphère (S) se réduise à un plan (n). 

 Alors à tout plan (P) correspondra un plan (P') passant par l'intersection 

 de (ti) et de (P), et les angles y, tp' que font les plans(P), (P')avec [n) se- 

 ront liés par la relation (i). Il n'est pas difficile de reconnaître, dans cette 

 transformation d'un plan dans un autre, celle qui a été étudiée récemment 

 par M. Laguerre sous le nom de transformation par directions réciproques. 

 On voit qu'elle est comprise dans la transformation de sphères qui est 

 définie par notre deuxième proposition. 



» Je n'ai rappelé ces résultats que pour arriver à la proposition qui est 

 l'objet principal de cette Communication. Je vais montrer, conformément 

 à un théorème général de M. S. Lie (^), que la transformation proposée en 

 premier lieu par M. Ribaucour se ramène à des dilatations (passage d'une 

 surface à la surface parallèle) et à des transformations par rayons vecteurs 

 réciproques. 



( » ) Ou mieux lang ^ = lany ^ y/ J-^' ■ 



(-) S. Lie, Ueber Complexe, insbesondere Linien-iind Kugel-Complexs [Mathematische 

 Annalen,t. V, p. i86). 



