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» A cet ofiet, considéroiis la transformation de sphères précédemment 

 définie. Je vais montrer que, lorsque la sphère (S) dont elle dépend est une 

 vérital)le sphère et ne se réduit pas à un plan, il existe toujours un rayon p 

 tel, que toutes les sphères de rayon p ont pour transformées, quelle que soit 

 leur position par rapport à (S), des sphères de rayon égal à — p. 



M Désignons par R le rayon de (S). Soient (U), (U') deux sphères de 

 rayons p, — p, coupant (S) suivant le même cercle. Si l'on appelle çp, 9' les 

 angles sous lesquels ces sphères coupent (S), ou établira sans peine la rela- 

 tion 



ï.in-c|; sin-<)/' 



il- + p- — -iRp C'OSif R"+ p' -h 2Rp COSif' 



d'où l'on déduit 



costp — cosip aRo 



I — cus^ cosa»' R^ -+- p- 



Celte relation est de même forme que la formule (i). U suffira donc de dé- 

 terminer p par l'équation 



R- 



Alors les sphères (U), (U') seront corres^pondanfes dans la transformation 

 définie par notre deuxième proposition. J'ajoute que leurs centres, situé 

 en ligne droite avec le centre de (S), seront inverses par rapport à la 

 sjihère (S'), concentrique à (S) et de rayon y'R- — p^ . 



» D'après cela, soient (2) une surface quelconque et (I') sa transformée. Si 

 l'on prend toutes les sphères (U) de rayon p tangentes à [1], elles auront 

 pour transformées des sphères (U') de rayon — p, tangentes à [1'). J^es 

 surfaces (0), (©'), lieux des centres des sphères (U), (L)'), seront évidemjnent 

 parallèles respectivement à (2) et à (2'), et, d'après ce qui vient d'être dé- 

 montré, elles seront inverses l'une de l'autre par rapport à la sphère (S'). 

 On voit donc que l'on peut passer de {!) 'a {!') : 1° par une dilatation qui 

 transforme (2) en (0); 2" par une inversion |)ar rapport à la sphère auxi- 

 liaire (S'), inversion qui transforme (0) en (0'); 3" enfin par une nouvelle 

 ddalalion qui transforme (0')en {!'). 



n Dans le cas s])écial où la sphère (S) se réduirait à un plan, il faudrait 

 commencer par effectuer une inversion quelconque sur l'ensemble de la 

 figure. 



)) Je terminerai en remarquant que la recherche des modes de tranfor- 

 malion des surfaces avec conservation des lignes de courbure est liée de la 

 manière la plus étroite avec celle des systèmes orthogonaux. Toutes les fois 



