( 327 ) 

 » Soit maintenant 



J (.v-t)\/^[.v) 



si l'on pose 



, C .j,\ _ 1 y/y (-g) — \/y(g) 



et que l'on désigne par A,, A2, A.,, ... les expressions 



A.^fx + ^/fx), Ao = Â;-f-A', v>(^, •••, A, = A, A^_, +A',_,\/'^(xj', ..., 

 où A',._, — --^, le théorème de M. Hermite, rappelé ci-dessus, pourra 

 s'exprimer au moyen de la formule suivante, 



J, = (A„_, — rt,A„_., +rt2-''H-5~- ■•)''o 



^ et /j.^ étant des fonctions rationnelles de p, et «,, rto, ... des fonctions 

 entières de la même quantité. 



» Ces expressions A,, A^, ... ont des propriétés remarquables ('), entre 

 autres celle-ci, que, étant identiquement 



on aura 



A,(x-?) = L, + M,v'?W, 



où Lri Mr sont deux polynômes en x, L^ des degrés ou -y et M, 



des degrés ou ? selon que /• est impair ou pair. 



» Je me borne à considérer le cas de n impair, parce que l'on verra 

 tout de suite que les mêmes considérations sont valables pour n pair. 

 Soient, en premier lieu, 



et 



n„=i, 2, 3, ..., n. 



La propriété des fonctions A^, que j'ai indiquée plus haut, conduit aux 

 deux relations 



o=.*(Y)+¥(Y)v'y(?j, 



(') Annali (Il Malemalicti, t. X; liiglio 1880. 



