( 333 ) 



MEMOIRES PRESEINTES. 



ANALYSE MATHIÎMATIQUK. — Sur les fondions fuchsieiiiies. 

 Note de M. Poincaré. 



(Commissaires : MM. Bertrand, Hermite, Puiseux.) 



K Le but que je me propose, dans le travail que jai l'iionueur de pré- 

 senter à l'Académie, est de rechercher s'il n'existe pas des fonctions analy- 

 tiques analogues aux fonctions elliptiques et permettant d'intégrer diverses 

 équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. Je suis arrivé à 

 démontrer qu'il existe une classe très étendue de fonctions qui satisfont à 

 ces conditions et auxquelles j'ai donné le nom de fonctions fuchsiennes, en 

 l'honneur de M. Fuchs, dont les travaux m'ont servi très utilement dans 

 ces recherches. 



» Voici les notations dont je ferai usage. Soit z une variable imaginaire 

 représentée par un point dans un plan. Si j'appelle R, l'opération qui con- 

 siste à changer z en f\{z). K2 celle qui consiste à changer z en J^i"), 

 j'écrirai habituellement 



zR,=/,tz), zV^=f,[z^, zR,K, = y,[/(z)]. 



» Quand z restera intérieur à une certaine région R, zR, restera intérieur 

 à une certaine région S; j'écrirai 



S = RR,. 



» J'appelle cercle jondamentul le cercle qui a pour centre l'origine et 

 pour rayon l'unité; groupe h/perbolique le groupe des opérations qui 



consistent à changer z en — (a, b, c, d étant des constantes), et qui 



n'altèrent pas le cercle fondamental; groupe discontinu, tout groupe 

 qui ne contient pas d'opération infinitésimale, c't^st-à-dire d'opération 

 changeant z en une quantité infiniment voisine de z; groupe fuchsien, tout 

 groujje discontinu contenu dans le groupe hyperbolique. 



» 3' sppaWe Jonction fuctisienne toute fonction uniforme de z qui n'est pas 

 altérée parles opérations d'un groupe fuchsien. 



» Il fallait d'abord former tous les groupes fuchsiens; j'y suis arrivé à 

 l'aide de la Géométrie non euclidienne, dont je ne parlerai pas ici. J'ai fait 



